Last Updated: 2023-07-31 05:53:56 Monday
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本文尝试总结虚数和复数基础知识。
第一次认真讨论复数的是文艺复兴时期意大利有名的数学家“怪杰”卡丹，他是1545年开始讨论这个数的，当时复数被他称为“诡辩量”。几乎过了100年笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了个名字，虚数。但是又过了140年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary）来表示她的单位。后来德国数学家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这种数虚无缥缈，尽管他们也发现了到他的作用。1830年高斯详细论述了用直角坐标系上复平面上的点表示复数a+bi，这才使复数有了立足之地，人们才最终承认了复数。到今天，复数已经成为现代数学科技中普遍运用的数学工具之一。如流体力学、热力学、机翼理论的应用。它渗透到代数学、数论、微分方程等数学分支。复数在理论物理、弹性力学、天体力学等方面得到了广泛应用，Python内置complex类型，它是现代人才必备的基础知识之一。（文献中似乎更习惯将i写在前面，比如：x+iy，这样确实有个好处，不会与代数表达式混淆）
复数的定义和概念
A complex number takes the form
z=x+iywhere x and y are real, and i is an imaginary number that satisfies \(i^2=−1\)
一组概念：
复数的相等
两个复数相等，即实部与实部相等，虚部与虚部相等。
如果一个复数等于0，即它的实部和虚部都等于0。
复数的四则运算
设 \(z_1=x_1+iy_1,\ z_2=x_2+iy_2\)
复数的加法，就是实部加实部，虚部加虚部，与\(R^2\)空间向量加法一样。
\(z_1 + z_2 = (x_1+x_2)+i(y_1+y_2)\)
复数的乘法，与多项式乘法一样，只是注意\(i\)的处理，
\(z_1\cdot z_2=(x_1 x_2 − y_1 y_2)+i(x_1 y_2 + x_2 y_1)\)
复数的除法，需要共轭小技巧（见下）：
\(\cfrac{z_1}{z_2}=\cfrac{z_1\cdot \overline{z_2}}{z_2\cdot \overline{z_2}}\)
交换律（commutativity）
\(\forall z_1\in C,\ \forall z_2\in C\)
\(z_1 + z_2 = z_2 + z_1\)
\(z_1 z_2 = z_2 z_1\)
结合律（associativity）
\(\forall z_1\in C,\ \forall z_2\in C,\ \forall z_3\in C\)
\((z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)\)
\((z_1 z_2)z_3 = z_1(z_2 z_3)\)
分配率（distributivity）
\(\forall z_1\in C,\ \forall z_2\in C,\ \forall z_3\in C\)
\(z_1(z_2+z_3)=z_1 z_2 + z_1 z_3\)
复数的绝对值
与\(R^2\)空间求向量的长度一样，绝对值就是到复平面原点的距离：
\(z=x+iy\)
\(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\)
Python中可以直接定义和进行复数运算
Python真是科学计算的最佳编程语言呀....
>>> a = 1+2j
>>> a
(1+2j)
>>> b = 3+4j
>>> b
(3+4j)
>>> a+b
(4+6j)
>>> a*b
(-5+10j)
>>> abs(a)
2.23606797749979
>>> abs(b)
5.0
共轭
每一个复数，都有一个孪生子，称为共轭，complex conjugate，就是把虚部的符号换一下，在图形上看，就是复数对x轴对称的那个数。
\(z=x+iy\) 的complex conjugate为：
\(\overline{z}=x−iy\)
乘\(i\)的视觉效果
一个数乘\(i\)，相当于在复平面上逆时针旋转90度。
以上就是关于虚数和复数的基础知识。
复数的计算规则，以及绝对值的含义，与实数完全相同，看来就是同一类性质的数呀...只是实数没有共轭，实数就在x轴上，或者说实数的共轭就是它自己！
本文链接：https://cs.pynote.net/math/202208131/
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