-- TOC --
微分的思想很简单直接，就是“以直代曲”，“线性近似”，"无限逼近"。
比如可以用内接\(N\)边型的方式来推导圆的面积公式，用\(N\)个小矩形面积的和来计算曲线与x轴之间的面积等。（\(N\rightarrow +\infty\)）
设函数\(y=f(x)\)在某区间内有定义，\(x_0\)及\(x_0+\Delta x\)在此区间内，如果函数增量：
\(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\)
可表示为：
\(\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)\)
其中\(A\)是不依赖于\(\Delta x\)的常数，那么称函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)是 可微 的，而\(A\Delta x\)叫作函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)相应于自变量增量\(\Delta x\)的 微分 ，记作\(\textrm{d}y\)，即：
\(\textrm{d}y=A\Delta x\)
通常令\(\mathrm{d}x=\Delta x\)，所以微分又可表示为：
$$\textrm{d}y=A\cdot\mathrm{d}x$$
\(o(\Delta x)=\Delta y - A\Delta x\)，这表示用来线性近似的直线与函数原值相差一个相对于\(\Delta x\)的高阶无穷小。
\(\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\cfrac{o(\Delta x)}{\Delta x}=0\)
该直线就是\(f(x_0)\)点及其附近曲线的“线性近似”！这条直线就是\(f(x_0)\)点的切线（tangent line）。
上述微分的定义中，A就是导数。
$$\begin{align} \Delta y &= A\Delta x+o(\Delta x) \notag\\ \frac{\Delta y}{\Delta x} &= A + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\notag\\ \end{align}$$
显然就有：
$$\begin{align} \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+x_0)-f(x)}{\Delta x}\notag\\ &=A\notag\\ &=f'(x_0)\notag\\ &=\cfrac{dy}{dx}\bigg|_{x=x_0}\end{align}$$
这就是导数的定义式。
\(\cfrac{dy}{dx}\bigg|_{x=x_0}\)不是除法，是上述极限式的简写。但从微分定义角度看，的确又是个除法。有点混乱，注意内涵！（微积分的发展经历了数百年，牛顿、莱布尼兹、柯西、欧拉、魏尔斯特拉斯等各位大佬一把屎一把尿把它抚养成人，中间产生了一个问题，就是符号有些混乱）
这个极限存在，即说明\(f(x)\)在\(x_0\)处可导，这个极限就是导数。
导数还可以写成：
\(y^{'}|_{x=x_0}\)
\(\cfrac{dy}{dx}\bigg|_{x=x_0}\)
\(\cfrac{df(x)}{dx}\bigg|_{x=x_0}\)
\(\cfrac{d}{dx}f(x)\Bigg|_{x=x_0}\)
导数就是用来做微分近似的那条直线的斜率，微分存在，导数必然存在，因此，可微就可导，可导就可微。
微分是\(dy\)，导数是\(\cfrac{dy}{dx}\)，导数是微分的斜率，是变化率或敏感度。
微分和导数，从定义上看，都是一个数。求微分，关键就是求导数，求导数，就是在求极限。
下面这段文字，是我在另外一份教材上看到的，说的就是导数定义式左右两边并不都是除法：
A technical note is that the division sign on the left-hand side is, unlike the division sign on the right-hand side, not a division. Instead, this notation indicates that the operator \(\cfrac{d}{dx}\) is being applied to the function \(f\), and returns a different function (the derivative).
The derivative on each variable tells you the sensitivity of the whole expression on its value.
如下极限存在的话，则称之为函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处的 左导数 （left-hand derivatives），记作\(f'_-(x_0)\)：
$$f_{-}^{'}(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0^-}\cfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$
或如下极限存在的话，则称之为函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处的 右导数 （right-hand derivatives），记作\(f'_+(x_0)\)：
$$f_{+}^{'}(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0^+}\cfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$
可导的充要条件
左右导数存在且相等：
$$f_{-}^{'}(x_0)=f_{+}^{'}(x_0)=f^{'}(x_0)$$
可导必然连续
如果函数\(f(x)\)在\(x_0\)可导，那么函数在\(x_0\)点必然连续。
连续不一定可导
比如函数图形不全是曲线，有突变的点。
可导意味着曲线平滑，没有突变点。
若函数\(y=f(x)\)在开区间\(I\)内的每个点都可导，则称函数\(y=f(x)\)在开区间\(I\)内可导。
此时，\(\forall x\in I\)，都对应这\(f(x)\)一个确定的导数值，这就构成了新的函数，该函数叫做\(y=f(x)\)的导函数，记作\(y^{'},f^{'}(x),\cfrac{dy}{dx},\cfrac{df(x)}{dx}\)。定义式为：
$$y^{'}=f^{'}(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\cfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
定义在开区间，可能是避免了说明左右导数的麻烦。
不要把导数和导函数混在一起分不清楚了，注意上下文。
常数函数\(f(x)=C,C\in R\)，其导函数为0：
\(f'(x)=0\)
对于幂函数\(f(x)=x^a,a\in R\)，其导函数为：
\(f'(x)=a\cdot a^{a-1}\)
\((\sin{x})'=\cos{x}\)
\((\cos{x})'=-\sin{x}\)
有了这两个公式，再结合洗下面求导函数的法则，可以很轻松的得到：
\((\tan{x})'=\sec^2{x}\)
\((\cot{x})'=-\csc^2{x}\)
\((\sec{x})'=\sec{x}\cdot\tan{x}\)
\((\csc{x})'=-\csc{x}\cdot\cot{x}\)
\((\arcsin{x})'=\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\((\arccos{x})'=-\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\((\arctan{x})'=\cfrac{1}{1+x^2}\)
\((arccot\text{ x})^{'}=-\cfrac{1}{1+x^2}\)
当\(f(x)=a^x,a\gt0,a\neq1\)
\(f'(x)=a^x\cdot \ln{a}\)
特别的当\(f(x)=e^x\)时，\(f'(x)=e^x\)
当\(f(x)=\log_a{x},a\gt0,a\neq1\)
\(f'(x)=\cfrac{1}{x\ln{a}}\)
特别的当\(f(x)=\ln{x}\)时，\(f'(x)=\cfrac{1}{x}\)
如果函数\(f(x)\)和\(g(x)\)在\(x\)点处可导，
\((f(x)\pm g(x))^{'}=f^{'}(x)\pm g^{'}(x)\)
product rule
如果函数\(f(x)\)和\(g(x)\)在\(x\)点处可导，
\(f(x)\cdot g(x)=f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)\)
对于有3部分相乘的product rule：
如果\(y=uvw\)，那么：
\(\cfrac{dy}{dx}=\cfrac{du}{dx}vw+\cfrac{dv}{dx}uw+\cfrac{dw}{dx}uv\)
quotient rule
如果函数\(f(x)\)和\(g(x)\)在\(x\)点处可导，以及\(g(x)\neq0\)，
\(\biggl(\cfrac{f(x)}{g(x)}\biggr)'=\cfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}\)
复合函数的导函数，链式法则，chain rule，人工智能算法由它推导！
如果\(u=g(x)\)在\(x\)可导，而\(y=f(u)\)在\(u\)点可导，那么复合函数\(y=f(g(x))\)在\(x\)点可导，其导函数为：
$$\bigl(f(g(x))\bigr)'=f'(u)\cdot g'(x)=\cfrac{dy}{du}\cdot\cfrac{du}{dx}$$
\(\cfrac{dy}{du}和\cfrac{du}{dx}\)这里绝对不是除法，不能约分，他们是两个极限表达式的缩写。
当然，链式法则也可以有更多级：
\(\cfrac{dy}{dx}=\cfrac{dy}{du}\cdot\cfrac{du}{dv}\cdot\cfrac{dv}{dx}\)
如果函数\(y=f(x)\)在区间\(I_x\)内严格单调，可导，且\(f'(x)\neq0\)，那么它的反函数\(f^{-1}(y)\)在对应的区间\(I_y=\{y|y=f(x),x\in I_x\}\)也可导，且：
\(\bigl(f^{-1}(y)\bigr)'=\cfrac{1}{f'(x)}\)
严格单调已经包含了导数不为0这个条件。
型如\(y=f(x)\)的函数，叫做显函数（explicit function），否则就是隐函数（implicit function）。
有一些隐函数，可以转换成显函数，有一些就不行。
有一个判断隐函数是否存在的定理，还不会。
隐函数不能将y和x分开，因此在求导的时候，同时对等号两边针对x进行求导，使用上文所述的各种求导法则。注意对y用x求导时，因为隐函数，要使用链式法则，得到一个含有\(\cfrac{dy}{dx}\)的表达式，我们要求的，就是\(\cfrac{dy}{dx}=...\)
等号两边去对数，可以把幂运算简化为乘法，可以把乘除简化为加减。然后再两边对x求导。一般都取自然对数，进一步方便计算。
定理，对于参数方程：
\(\begin{cases} x=f(t) \\ y=g(t) \\ \end{cases}\)
x和y存在函数关系，可直接用链式法则证明此定理。
那么，\(\cfrac{dy}{dx}=\cfrac{dy}{dt}\cdot\cfrac{dt}{dx}=\cfrac{dy}{dt}\cdot\cfrac{1}{\frac{dx}{dt}}=\cfrac{g'(t)}{f'(t)}\)
参数方程的二阶导数，由于一阶导数得到的依然是一个含有t的表达式，因此再来这么一次。
前面说的都是一阶导函数（first order derivative）。
二阶导函数（second order derivatives）为：
\((y')'=f''(x)=\cfrac{d^{2}y}{dx^2}=\cfrac{d}{dx}(y')\)
对函数y求两次导数，每一个\(dx\)表示对x求导一次。
位移的一阶导数是瞬时速度，二阶导数是加速度。
N接导函数（N-th order derivatives）：
\(y^{(n)}=f^{(n)}=\cfrac{d^{n}y}{dx^n}\)
本文链接：https://cs.pynote.net/math/202208061/
-- EOF --
-- MORE --