函数,极限,连续

Last Updated: 2024-05-26 11:33:57 Sunday

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数学知识来自严格的逻辑推导证明,而逻辑推导的基础来自清晰的定义或概念。本文尝试总结函数和极限相关定义和定理的推导。

函数

首先,我想说一下函数。

函数可以非常狂野,也可以静水深流,只要符合定义,它就是一个函数。

函数定义包括:f(转换方式),domain(定义域x),range(值域y);且从domain到range,符合唯一性,即每一个x,只唯一对应一个y,可以一对一,可以多对一(无反函数)。

两个函数,如果domain不相同,但是其它方面相同,也是不同的函数。

domain可以是离散的,也可以是连续的。

函数的性质有:奇偶,(严格)单调,反函数。

若在某区间内,函数可导,其导数大于等于0,则此函数单增;如果其导数大于0,则此函数严格单增。

若在某区间内,函数可导,其导数小于等于0,则此函数单减;如果其导数小于0,则此函数严格单减。

注意将函数与方程区分开来!

基本初等函数

basic elementary function

极限

讨论函数的性质,一定要在其定义域内。但是趋向于某一点的极限,这一点可以不在定义域内。

下面几个x趋向无穷的定义,基本相同,只有细微的差异。符合定义,才有极限。


设函数\(f(x)\)当\(\lvert x \rvert\)大于某正数时有定义。

如果 \(\forall \epsilon \gt 0\),\(\exist X \gt 0\),\(\forall |x| \gt X\),满足:

\(|f(x) - L| \lt \epsilon, L \in R\)

那么,就可以说,\(L\)是函数\(f(x)\)当\(x \rightarrow \infty\)时的极限,

或者说,当\(x \rightarrow \infty\)时函数\(f(x)\)收敛于\(L\)(\(f(x) \rightarrow L\)),可以写为:

\(\lim_{x \rightarrow \infty}f(x) = L\)

如果不存在这样的常数\(L\),就可以说,当\(x \rightarrow \infty\)时函数\(f(x)\)发散,

没有极限,或极限不存在。


设函数\(f(x)\)当\(x\)大于某正数时有定义。

如果 \(\forall \epsilon \gt 0\),\(\exist X \gt 0\),\(\forall x \gt X\),满足:

\(|f(x) - L| \lt \epsilon, L \in R\)

那么,就可以说,\(L\)是函数\(f(x)\)当\(x \rightarrow +\infty\)时的极限,

或者说,当\(x \rightarrow +\infty\)时函数\(f(x)\)收敛于\(L\)(\(f(x) \rightarrow L\)),可以写为:

\(\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x) = L\)

如果不存在这样的常数\(L\),就可以说,当\(x \rightarrow +\infty\)时函数\(f(x)\)发散,

没有极限,或极限不存在。


设函数\(f(x)\)当\(x\)小于某正数时有定义。

如果 \(\forall \epsilon \gt 0\),\(\exist X \gt 0\),\(\forall x \lt -X\),满足:

\(|f(x) - L| \lt \epsilon, L \in R\)

那么,就可以说,\(L\)是函数\(f(x)\)当\(x \rightarrow -\infty\)时的极限,

或者说,当\(x \rightarrow -\infty\)时函数\(f(x)\)收敛于\(L\)(\(f(x) \rightarrow L\)),可以写为:

\(\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x) = L\)

如果不存在这样的常数\(L\),就可以说,当\(x \rightarrow -\infty\)时函数\(f(x)\)发散,

没有极限,或极限不存在。


$$\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x) = \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x) = L \iff \lim_{x \rightarrow \infty}f(x) = L$$


以\(x_0\)为中心,半径为\(\delta\)的开区间\((x_0-\delta,x_0+\delta)\)称为点\(x_0\)的领域(neighborhood),记作\(U(x_0,\delta)\),不过不关心半径,也可以写作\(U(x_0)\)。如果去掉中心点\(x_0\),半径为\(\delta\)的开区间称为\(x_0\)点的去心领域(deleted neighborhood),记作\(\mathring{U}(x_0,\delta)\),如果不关心半径,可写作\(\mathring{U}(x_0)\)。

领域是开区间。


设函数\(f(x)\)在\(\mathring{U}(x_0)\)上有定义(与在\(x_0\)点是否有定义无关),

如果 \(\forall \epsilon \gt 0\),\(\exist \delta \gt 0\),\(\forall x \in \mathring{U}(x_0,\delta)\),满足:

\(|f(x) - L| \lt \epsilon, L \in R\)

那么,就可以说,\(L\)是函数\(f(x)\)当\(x \rightarrow x_0\)时的极限,

或者说,当\(x \rightarrow x_0\)时函数\(f(x)\)收敛于\(L\)(\(f(x) \rightarrow L\)),可以写为:

\(\lim_{x \rightarrow x_0}f(x) = L\)

如果不存在这样的常数\(L\),就可以说,当\(x \rightarrow x_0\)时函数\(f(x)\)发散,

没有极限,或极限不存在。

注意这个定义,有个绝对值符号,这说明,函数可以穿梭着\(y=L\)这条线,无限逼近...

如果\(f(x)\)在\(x_0\)点有定义,但是\(f(x_0)\neq\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)\),这表示\(f(x)\)在\(x_0\)点不连续。同时说明,函数趋向某个点的极限值,可以是一个独立的值。


设\(f(x)\)在\((a,x_0)\)上有定义,其中\(a \lt x_0\),

如果 \(\forall \epsilon \gt 0\),\(\exist \delta \gt 0\),\(\forall x \in (x_0-\delta,x_0)\),满足:

\(|f(x) - L| \lt \epsilon, L \in R\)

那么,就可以说,\(L\)是函数\(f(x)\)当\(x \rightarrow x_0^-\)时的极限,也叫左极限,

或者说,当\(x \rightarrow x_0^-\)时函数\(f(x)\)收敛于\(L\)(\(f(x) \rightarrow L\)),可以写为:

\(\lim_{x \rightarrow x_0^-}f(x) = L\)

如果不存在这样的常数\(L\),就可以说,当\(x \rightarrow x_0^-\)时函数\(f(x)\)发散,

没有(左)极限,或(左)极限不存在。


设\(f(x)\)在\((x_0,b)\)上有定义,其中\(b \gt x_0\),

如果 \(\forall \epsilon \gt 0\),\(\exist \delta \gt 0\),\(\forall x \in (x_0,x_0+\delta)\),满足:

\(|f(x) - L| \lt \epsilon, L \in R\)

那么,就可以说,\(L\)是函数\(f(x)\)当\(x \rightarrow x_0^+\)时的极限,也叫右极限,

或者说,当\(x \rightarrow x_0^+\)时函数\(f(x)\)收敛于\(L\)(\(f(x) \rightarrow L\)),可以写为:

\(\lim_{x \rightarrow x_0^+}f(x) = L\)

如果不存在这样的常数\(L\),就可以说,当\(x \rightarrow x_0^+\)时函数\(f(x)\)发散,

没有(右)极限,或(右)极限不存在。


$$\lim_{x \rightarrow x_0^-}f(x) = \lim_{x \rightarrow x_0^+}f(x) = L \iff \lim_{x \rightarrow x_0}f(x) = L$$


极限\(\lim f(x) = L\) 存在的充要条件是:

$$ \lim f(x) = L \iff f(x) = L + \alpha $$

其中\(\alpha\)为\(f(x)\)自变量的同一变化过程的无穷小,即有\(\lim a = 0\),

所谓同一变化过程,即同一种极限。

这个定理有重大的代数意义,它可以把极限符号去掉。



设函数\(f(x)\)在\(\mathring{U}(x_0)\)上有定义,

如果有 \(\forall M \gt 0,\exist \delta \gt 0,\forall x \in \mathring{U}(x_0,\delta)\),满足:

\(f(x) \gt M\)

那么,就可以说,函数\(f(x)\)是\(x \rightarrow x_0\)时的正无穷大(positive infinity),

可写为:

\(\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = +\infty\)

用类似的方式,还可以定义:

\(\lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x) = +\infty\)

\(\lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x) = +\infty\)

\(\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = +\infty\)

\(\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty\)

\(\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = +\infty\)


设函数\(f(x)\)在\(\mathring{U}(x_0)\)上有定义,

如果有 \(\forall M \gt 0,\exist \delta \gt 0,\forall x \in \mathring{U}(x_0,\delta)\),满足:

\(f(x) \lt -M\)

那么,就可以说,函数\(f(x)\)是\(x \rightarrow x_0\)时的负无穷大(negative infinity),

可写为:

\(\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = -\infty\)

用类似的方式,还可以定义:

\(\lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x) = -\infty\)

\(\lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x) = -\infty\)

\(\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = -\infty\)

\(\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = -\infty\)

\(\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -\infty\)


设函数\(f(x)\)在\(\mathring{U}(x_0)\)上有定义,

如果有 \(\forall M \gt 0,\exist \delta \gt 0,\forall x \in \mathring{U}(x_0,\delta)\),满足:

\(|f(x)| \gt M\)

那么,就可以说,函数\(f(x)\)是\(x \rightarrow x_0\)时的无穷大(infinity),

可写为:

\(\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = \infty\)

用类似的方式,还可以定义:

\(\lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x) = \infty\)

\(\lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x) = \infty\)

\(\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty\)

\(\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \infty\)

\(\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \infty\)


在自变量\(x\)的同一变化过程中,

若\(f(x)\)为无穷小,且在相应的局部有\(f(x) \neq 0\),则\(\cfrac{1}{f(x)}\)为无穷大,可以写作:$$\cfrac{1}{0}=\infty$$

若\(f(x)\)为无穷大,则\(\cfrac{1}{f(x)}\)为无穷小,可以写作:$$\cfrac{1}{\infty}=0$$


函数极限的唯一性

如果有\(\lim f(x) = L\),那么该极限唯一!


函数极限的局部有界性

如果有\(\lim f(x) = L\),那么函数\(f(x)\)在相应的局部是有界的!


函数极限的局部保号性

如果有\(\lim f(x) = L\),且\(L \gt 0\)(或\(L \lt 0\)),那么在相应的局部,始终有,\(f(x) \gt 0\)(或\(f(x) \lt 0\))。

如果有\(\lim f(x) = L\),且\(L \neq 0\),那么在相应的局部,始终有:$$|f(x)| \gt \cfrac{|L|}{2} (\gt \frac{|L|}{3} \cdots)$$

如果有\(\lim f(x) = L\),且在相应的局部,始终有\(f(x) \ge 0\)(或\(f(x) \le 0\)),那么有:$$L \ge 0\text{ }(L \le 0)$$

如果始终有\(f(x) \gt 0\),符合始终有\(f(x) \ge 0\)这个条件。


在函数\(f(x)\)定义域内,任意的满足\(\lim_{n \rightarrow \infty}x_n = x_0, x_n \neq x_0, n \in Z^+\)的数列\(\left\{x_n\right\}\),有:$$\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=L \iff \lim_{x\rightarrow x_0}f(x) = L$$

海涅定理在自变量\(x\)的其它变化过程中也成立。

任意的这样一个数列,只要有一个不是,就可以证明\(f(x)\)的极限也不是。只要有两个这样的数列极限不相等,就可以证明\(f(x)\)的极限也不存在,比如证明\(lim_{x\rightarrow 0}\sin({\frac{1}{x}})\)的极限不存在,或者证明\(lim_{x\rightarrow \infty}\sin(x)\)的极限不存在。

根据函数极限的定义,并\(x\)无限趋向\(x_0\),但不会等于\(x_0\),也不关心\(x_0\)是否在domain内,因此在海涅定理中,也规定了\(x_n \neq x_0\)


无穷个无穷小的乘积,不一定是无穷小,这个反直觉。

无穷个无穷小的和,也不一定是无穷小。


如果\(\lim f(x)=A,\lim g(x)=B\),那么:

\(\lim[f(x)\pm g(x)]=\lim f(x) \pm \lim g(x)=A\pm B\)

\(\lim[f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x) \cdot \lim g(x)=A\cdot B\)

如果 \(B \neq 0\),

\(\lim\cfrac{f(x)}{g(x)}=\cfrac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\cfrac{A}{B}\)

如果\(\lim f(x)\)存在,那么,

\(\lim[c\cdot f(x)]=c\cdot\lim f(x)\)

\(\lim[f(x)]^n=[\lim f(x)]^n\)

如果在相应的局部,有\(f(x) \ge g(x)\),且\(\lim f(x)=A,\lim g(x)=B\),那么\(A \ge B\)


在相应的局部有\(g(x) \le f(x) \le h(x)\),

且\(\lim g(x)=\lim h(x) = L\)

那么 \(\lim f(x)=L\)


\(y=f[g(x)]\)在\(\mathring{U}(x_0)\)上有定义,

如果\(\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=u_0,\lim_{u\rightarrow u_0}f(u)=L\),

且\(\exist\delta_0\gt0\),当\(x\in\mathring{U}(x_0,\delta_0)\)时,有\(g(x)\neq u_0\),则:

$$\lim_{x\rightarrow x_0}f[g(x)]=\lim_{u\rightarrow u_0}f(u)=L$$

此定义如前面的定义,依然要去掉等于\(x_0\)(这里是\(u_0\))这个点。

极限的逼近,可能是任意方式的逼近,逼近但不能相同。(靠近但不能接触)

如果没有\(g(x)\neq u_0\)这个条件,就有可能出现\(\lim_{u\rightarrow u_0}f(u) \neq L\)的情况,比如,在定义域内\(g(x)=u_0\),\(f\)在\(x_0\)点不连续,此时\(f(x)\)已经没有了逼近的过程。


如果有\(\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=L\)或\(\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=L\),

那么直线\(y=L\)就是函数\(y=f(x)\)的水平渐近线。

水平渐近线最多只会有两条,一左一右。

如果有\(\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=\pm\infty\)或\(\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=\pm\infty\),

那么直线\(x=x_0\)就是函数\(y=f(x)\)的垂直渐近线。

垂直渐近线可以有无数条。

如果有\(\lim_{x\rightarrow -\infty}[f(x)-(ax+b)]=0\)或\(\lim_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-(ax+b)]=0\),

那么直线\(y=ax+b\)就是函数\(y=f(x)\)的斜渐近线(slant asymptote)。


单调有界,必有极限。


已知\(\alpha\)和\(\beta\)是同一自变量的变化过程中的无穷小,且在相应的局部,有\(\alpha \neq 0\),如果:

(1)\(\lim \cfrac{\beta}{\alpha}=0\),则称\(\beta\)是比\(\alpha\)高阶的无穷小(infinitesimal of higher order),记作\(\beta=o(\alpha)\);

(2)\(\lim \cfrac{\beta}{\alpha}=\infty\),则称\(\beta\)是比\(\alpha\)低阶的无穷小(infinitesimal of lower order);

(3)\(\lim \cfrac{\beta}{\alpha}=c\neq0\),则称\(\beta\)是与\(\alpha\)同阶的无穷小(infinitesimal of same order);

(4)\(\lim \cfrac{\beta}{\alpha^k}=c\neq0\),则称\(\beta\)是关于\(\alpha\) k阶的无穷小(infinitesimal of order k);

(5)\(\lim \cfrac{\beta}{\alpha}=1\),则称\(\beta\)与\(\alpha\)是等价的无穷小(equivalent infinitesimal),写作\(\alpha\sim\beta\);

高阶就是更快地趋向无穷小。


\(\alpha\)与\(\beta\)为等价无穷小的充要条件是:

$$\beta-\alpha=o(\alpha) \iff \beta\sim\alpha$$


设\(\alpha\sim\alpha_1,\beta\sim\beta_1\),

且\(\lim\cfrac{\alpha_1}{\beta_1}\)存在,

则\(\lim\cfrac{\alpha}{\beta}=\lim\cfrac{\alpha_1}{\beta_1}\)

函数总是自己的等价无穷小,所以这个定理在应用时,可以只替换一部分。


当\(x\rightarrow 0\)时有:

(1)\(\sin{x}\sim x\)

(2)\(\tan{x}\sim x\)

(3)\(\arcsin{x}\sim x\)

(4)\(\arctan{x}\sim x\)

(5)\(\ln(1+x)\sim x\)

(6)\(e^x-1\sim x\)

(7)\((1+x)^a-1\sim ax\)

(8)\(1-\cos{x}\sim\cfrac{1}{2} x^2\)

连续与间断

设函数\(y=f(x)\)在\(x_0\)点的某一领域内有定义,令:

\(\Delta{x}=x-x_0,\Delta{y}=f(x_0+\Delta{x})-f(x_0)\)

如果:

$$\lim_{\Delta{x}\rightarrow0}\Delta{y}=0$$

那么,就称函数\(f(x)\)在\(x_0\)点连续(continuous)。

函数连续的定义,是在一个点上的定义。

设函数\(y=f(x)\)在\(x_0\)点的某一领域内有定义,如果:

$$\lim_{x\rightarrow{x_0}}f(x)=f(x_0)$$

那么就称函数\(f(x)\)在\(x_0\)点连续(continuous)。

如果有:

$$\lim_{x\rightarrow{x_0^-}}f(x)=f(x_0)$$

那么就说函数\(y=f(x)\)在\(x_0\)点左连续。

如果有:

$$\lim_{x\rightarrow{x_0^+}}f(x)=f(x_0)$$

那么就说函数\(y=f(x)\)在\(x_0\)点右连续。

说函数在闭区间上连续,其在两端点处,就是右连续和左连续。

$$\lim_{x\rightarrow{x_0^-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow{x_0^+}}f(x)=f(x_0)\iff\lim_{x\rightarrow{x_0}}f(x)=f(x_0)$$

在区间上每一个点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数(continuous function),或者说函数在该区间连续。如果区间包括端点,那么函数在右端点连续是指左连续,在左端点连续是指右连续。


设函数\(y=f(x)\)在\(\mathring{U}(x_0)\)有定义,

如果该函数有下列三种情况之一:

(1)在\(x=x_0\)点上没有定义;

(2)虽然在\(x=x_0\)点上有定义,但\(\lim_{x\rightarrow{x_0}}f(x)\)不存在;

(3)虽然在\(x=x_0\)点上有定义,且\(\lim_{x\rightarrow{x_0}}f(x)\)存在,但\(\lim_{x\rightarrow{x_0}}f(x)\neq f(x_0)\)

那么,称函数\(y=f(x)\)在\(x_0\)点不连续,\(x_0\)点称为函数\(y=f(x)\)的不连续点(discontinuity),或间断点。

不在定义域内的点,直接就是不连续。

趋向无定义点的极限为无穷,比如\(\tan{x}\)在\(\cfrac{\pi}{2}\)整数倍时。

在趋向无定义点的过程中,无限等幅度震荡。比如\(y=\sin{\cfrac{1}{x}}\)在趋向0点时。

这个点在连续函数的定义域中被拿掉了。

这个点的值,从图形上看,发生了jump,突变。


设\(x_0\)为函数\(y=f(x)\)的间断点(可能不在定义域内):

(1)如果左极限和右极限都存在,则称\(x_0\)为该函数的第一类间断点(discontinuity of the first kind);

(2)其余的,都称为第二类间断点(discontinuity of the second kind)。


设函数\(f(x)\)和\(g(x)\)在\(x_0\)点连续,则它们的和差积商(\(g(x_0)\neq0\))都在\(x_0\)点连续。


如果函数\(f(x)\)在区间\(I_x\)上严格单增(或严格单减)且连续,那它的反函数\(x=f^{-1}(y)\)在对应的区间\(I_y\)上依然严格单增(或严格单减)且连续。


设复合函数\(y=f[g(x)]\),在\(\mathring{U}(x_0)\)有定义,若\(\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=u_0\),函数\(f\)在\(u_0\)点连续,则:

$$\lim_{x\rightarrow x_0}f[g(x)]=\lim_{u\rightarrow u_0}f(u)=f(u_0)$$

还可以写作(\(\lim\)符号可以穿透连续函数\(f\)):

$$\lim_{x\rightarrow x_0}f[g(x)]=f(\lim_{x\rightarrow x_0}g(x))=f(u_0)$$

\(f(x)\)已经连续,\(g(x)\)是否等于\(u_0\),就无所谓了。


设复合函数\(y=f[g(x)]\),在\(\mathring{U}(x_0)\)有定义,若函数\(g(x)\)在\(x_0\)点连续,且\(g(x_0)=u_0\),而函数\(f\)在\(u_0\)点连续,则函数\(y=f[g(x)]\)在\(x_0\)点连续。

连连看...


基本初等函数,在自然定义域内,都连续。

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合构成的、且可用一个式子表示的函数称为 初等函数 (Elementary functions)

根据连续函数和、差、积、商的连续性以及复合函数的连续性可知,初等函数在自然定义域上也都是连续函数。


对在某区间\(I\)有定义的函数\(y=f(x)\),对于\(a\in I\)

两者统称为最值(absolute/global extremum)。

趋向于无穷,或开区间上的函数,就没有最值。

已知函数\(y=f(x)\),则:

两者统称为极值(local extremum)。

极值是个局部的概念,要有一个领域。


闭区间上的连续函数,

有界,至少有一个有最大值和最小值。


设\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续,且\(f(a)\)和\(f(b)\)异号,则在开区间\((a,b)\)内,至少有一个点\(c\),使得\(f(c)=0\)。

英文教材称此定理是IVT(Intermediate Value Theorem),基于此定理,再加上Bisection Method,可以用来解方程。


设\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续,且在两端点处取不同的值,即:\(f(a)=A,f(b)=B,A\neq B\),则对于A、B之间的一个数C,在开区间\((a,b)\)内,至少有一个点\(c\),使得\(f(c)=C,c\in(a,b)\)

推论:

在闭区间\([a,b]\)上连续的函数\(y=f(x)\),其值域为闭区间\([m,M]\),其中\(m\)和\(M\)依次为\(f(x)\)在\([a,b]\)的最小值与最大值。

本文链接:https://cs.pynote.net/math/202207111/

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