函数，极限，连续

Last Updated: 2023-06-03 13:15:19 Saturday

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函数
- 基本初等函数
极限
连续与间断

数学知识来自严格的逻辑推导证明，而逻辑推导的基础来自清晰的定义或概念。本文尝试总结函数和极限相关定义和定理的推导。

函数

首先，我想说一下函数。

函数可以非常狂野，也可以静水深流，只要符合定义，它就是一个函数。

函数定义包括：f（转换方式），domain（定义域x），range（值域y）；且从domain到range，符合唯一性，即每一个x，只唯一对应一个y，可以一对一，可以多对一（无反函数）。

两个函数，如果domain不相同，但是其它方面相同，也是不同的函数。

domain可以是离散的，也可以是连续的。

函数的性质有：奇偶，（严格）单调，反函数。

若在某区间内，函数可导，其导数大于等于0，则此函数单增；如果其导数大于0，则此函数严格单增。

若在某区间内，函数可导，其导数小于等于0，则此函数单减；如果其导数小于0，则此函数严格单减。

注意将函数与方程区分开来！

基本初等函数

basic elementary function

幂函数： $y=x^a,a\in R$
指数函数：$y=a^x,a\lt0,a\neq1$
对数函数：$y=\log_a{x},a\lt0,a\neq1$
三角函数
反三角函数

极限

讨论函数的性质，一定要在其定义域内。但是趋向于某一点的极限，这一点可以不在定义域内。

下面几个x趋向无穷的定义，基本相同，只有细微的差异。符合定义，才有极限。

$x \rightarrow \infty$

设函数$f(x)$当$\lvert x \rvert$大于某正数时有定义。

如果 $\forall \epsilon \gt 0$，$\exist X \gt 0$，$\forall |x| \gt X$，满足：

$|f(x) - L| \lt \epsilon， L \in R$

那么，就可以说，$L$是函数$f(x)$当$x \rightarrow \infty$时的极限，

或者说，当$x \rightarrow \infty$时函数$f(x)$收敛于$L$（$f(x) \rightarrow L$），可以写为：

$\lim_{x \rightarrow \infty}f(x) = L$

如果不存在这样的常数$L$，就可以说，当$x \rightarrow \infty$时函数$f(x)$发散，

没有极限，或极限不存在。

$x \rightarrow +\infty$

设函数$f(x)$当$x$大于某正数时有定义。

如果 $\forall \epsilon \gt 0$，$\exist X \gt 0$，$\forall x \gt X$，满足：

$|f(x) - L| \lt \epsilon， L \in R$

那么，就可以说，$L$是函数$f(x)$当$x \rightarrow +\infty$时的极限，

或者说，当$x \rightarrow +\infty$时函数$f(x)$收敛于$L$（$f(x) \rightarrow L$），可以写为：

$\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x) = L$

如果不存在这样的常数$L$，就可以说，当$x \rightarrow +\infty$时函数$f(x)$发散，

没有极限，或极限不存在。

$x \rightarrow -\infty$

设函数$f(x)$当$x$小于某正数时有定义。

如果 $\forall \epsilon \gt 0$，$\exist X \gt 0$，$\forall x \lt -X$，满足：

$|f(x) - L| \lt \epsilon， L \in R$

那么，就可以说，$L$是函数$f(x)$当$x \rightarrow -\infty$时的极限，

或者说，当$x \rightarrow -\infty$时函数$f(x)$收敛于$L$（$f(x) \rightarrow L$），可以写为：

$\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x) = L$

如果不存在这样的常数$L$，就可以说，当$x \rightarrow -\infty$时函数$f(x)$发散，

没有极限，或极限不存在。

定理：

$$\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x) = \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x) = L \iff \lim_{x \rightarrow \infty}f(x) = L$$

领域：

以$x_0$为中心，半径为$\delta$的开区间$(x_0-\delta,x_0+\delta)$称为点$x_0$的领域（neighborhood），记作$U(x_0,\delta)$，不过不关心半径，也可以写作$U(x_0)$。如果去掉中心点$x_0$，半径为$\delta$的开区间称为$x_0$点的去心领域（deleted neighborhood），记作$\mathring{U}(x_0,\delta)$，如果不关心半径，可写作$\mathring{U}(x_0)$。

领域是开区间。

$x \rightarrow x_0$

设函数$f(x)$在$\mathring{U}(x_0)$上有定义（与在$x_0$点是否有定义无关），

如果 $\forall \epsilon \gt 0$，$\exist \delta \gt 0$，$\forall x \in \mathring{U}(x_0,\delta)$，满足：

$|f(x) - L| \lt \epsilon， L \in R$

那么，就可以说，$L$是函数$f(x)$当$x \rightarrow x_0$时的极限，

或者说，当$x \rightarrow x_0$时函数$f(x)$收敛于$L$（$f(x) \rightarrow L$），可以写为：

$\lim_{x \rightarrow x_0}f(x) = L$

如果不存在这样的常数$L$，就可以说，当$x \rightarrow x_0$时函数$f(x)$发散，

没有极限，或极限不存在。

注意这个定义，有个绝对值符号，这说明，函数可以穿梭着$y=L$这条线，无限逼近...

如果$f(x)$在$x_0$点有定义，但是$f(x_0)\neq\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$，这表示$f(x)$在$x_0$点不连续。同时说明，函数趋向某个点的极限值，可以是一个独立的值。

$x \rightarrow x_0^-$

设$f(x)$在$(a,x_0)$上有定义，其中$a \lt x_0$，

如果 $\forall \epsilon \gt 0$，$\exist \delta \gt 0$，$\forall x \in (x_0-\delta，x_0)$，满足：

$|f(x) - L| \lt \epsilon， L \in R$

那么，就可以说，$L$是函数$f(x)$当$x \rightarrow x_0^-$时的极限，也叫左极限，

或者说，当$x \rightarrow x_0^-$时函数$f(x)$收敛于$L$（$f(x) \rightarrow L$），可以写为：

$\lim_{x \rightarrow x_0^-}f(x) = L$

如果不存在这样的常数$L$，就可以说，当$x \rightarrow x_0^-$时函数$f(x)$发散，

没有（左）极限，或（左）极限不存在。

$x \rightarrow x_0^+$

设$f(x)$在$(x_0,b)$上有定义，其中$b \gt x_0$，

如果 $\forall \epsilon \gt 0$，$\exist \delta \gt 0$，$\forall x \in (x_0，x_0+\delta)$，满足：

$|f(x) - L| \lt \epsilon， L \in R$

那么，就可以说，$L$是函数$f(x)$当$x \rightarrow x_0^+$时的极限，也叫右极限，

或者说，当$x \rightarrow x_0^+$时函数$f(x)$收敛于$L$（$f(x) \rightarrow L$），可以写为：

$\lim_{x \rightarrow x_0^+}f(x) = L$

如果不存在这样的常数$L$，就可以说，当$x \rightarrow x_0^+$时函数$f(x)$发散，

没有（右）极限，或（右）极限不存在。

定理：

$$\lim_{x \rightarrow x_0^-}f(x) = \lim_{x \rightarrow x_0^+}f(x) = L \iff \lim_{x \rightarrow x_0}f(x) = L$$

定理：

极限$\lim f(x) = L$ 存在的充要条件是：

$$ \lim f(x) = L \iff f(x) = L + \alpha $$

其中$\alpha$为$f(x)$自变量的同一变化过程的无穷小，即有$\lim a = 0$，

所谓同一变化过程，即同一种极限。

这个定理有重大的代数意义，它可以把极限符号去掉。

极限是无穷，不趋向于任何常数，就是极限不存在的意思，DNE，Does Not Exist。

趋向$+\infty$：

设函数$f(x)$在$\mathring{U}(x_0)$上有定义，

如果有 $\forall M \gt 0，\exist \delta \gt 0，\forall x \in \mathring{U}(x_0,\delta)$，满足：

$f(x) \gt M$

那么，就可以说，函数$f(x)$是$x \rightarrow x_0$时的正无穷大（positive infinity），

可写为：

$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = +\infty$

用类似的方式，还可以定义：

$\lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x) = +\infty$

$\lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x) = +\infty$

$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = +\infty$

$\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty$

$\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = +\infty$

趋向$-\infty$：

设函数$f(x)$在$\mathring{U}(x_0)$上有定义，

如果有 $\forall M \gt 0，\exist \delta \gt 0，\forall x \in \mathring{U}(x_0,\delta)$，满足：

$f(x) \lt -M$

那么，就可以说，函数$f(x)$是$x \rightarrow x_0$时的负无穷大（negative infinity），

可写为：

$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = -\infty$

用类似的方式，还可以定义：

$\lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x) = -\infty$

$\lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x) = -\infty$

$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = -\infty$

$\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = -\infty$

$\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -\infty$

趋向$\infty$

设函数$f(x)$在$\mathring{U}(x_0)$上有定义，

如果有 $\forall M \gt 0，\exist \delta \gt 0，\forall x \in \mathring{U}(x_0,\delta)$，满足：

$|f(x)| \gt M$

那么，就可以说，函数$f(x)$是$x \rightarrow x_0$时的无穷大（infinity），

可写为：

$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = \infty$

用类似的方式，还可以定义：

$\lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x) = \infty$

$\lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x) = \infty$

$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty$

$\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \infty$

$\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \infty$

定理：

在自变量$x$的同一变化过程中，

若$f(x)$为无穷小，且在相应的局部有$f(x) \neq 0$，则$\cfrac{1}{f(x)}$为无穷大，可以写作：$$\cfrac{1}{0}=\infty$$

若$f(x)$为无穷大，则$\cfrac{1}{f(x)}$为无穷小，可以写作：$$\cfrac{1}{\infty}=0$$

定理：

函数极限的唯一性

如果有$\lim f(x) = L$，那么该极限唯一！

定理：

函数极限的局部有界性

如果有$\lim f(x) = L$，那么函数$f(x)$在相应的局部是有界的！

定理：

函数极限的局部保号性

如果有$\lim f(x) = L$，且$L \gt 0$（或$L \lt 0$），那么在相应的局部，始终有，$f(x) \gt 0$（或$f(x) \lt 0$）。

推论1：

如果有$\lim f(x) = L$，且$L \neq 0$，那么在相应的局部，始终有：$$|f(x)| \gt \cfrac{|L|}{2} (\gt \frac{|L|}{3} \cdots)$$

推论2：

如果有$\lim f(x) = L$，且在相应的局部，始终有$f(x) \ge 0$（或$f(x) \le 0$），那么有：$$L \ge 0\text{ }(L \le 0)$$

如果始终有$f(x) \gt 0$，符合始终有$f(x) \ge 0$这个条件。

海涅定理：

在函数$f(x)$定义域内，任意的满足$\lim_{n \rightarrow \infty}x_n = x_0, x_n \neq x_0, n \in Z^+$的数列$\left\{x_n\right\}$，有：$$\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=L \iff \lim_{x\rightarrow x_0}f(x) = L$$

海涅定理在自变量$x$的其它变化过程中也成立。

任意的这样一个数列，只要有一个不是，就可以证明$f(x)$的极限也不是。只要有两个这样的数列极限不相等，就可以证明$f(x)$的极限也不存在，比如证明$lim_{x\rightarrow 0}\sin({\frac{1}{x}})$的极限不存在，或者证明$lim_{x\rightarrow \infty}\sin(x)$的极限不存在。

根据函数极限的定义，并$x$无限趋向$x_0$，但不会等于$x_0$，也不关心$x_0$是否在domain内，因此在海涅定理中，也规定了$x_n \neq x_0$

定理：两个无穷小之和，是无穷小。
定理：有界函数与无穷小的乘积，是无穷小。
推论：
1. 常数与无穷小的乘积，是无穷小。
2. 有限个无穷小的乘积，是无穷小。（无穷小也是有界函数）
3. 有限个无穷小的和，是无穷小。

无穷个无穷小的乘积，不一定是无穷小，这个反直觉。

无穷个无穷小的和，也不一定是无穷小。

定理：

如果$\lim f(x)=A,\lim g(x)=B$，那么：

$\lim[f(x)\pm g(x)]=\lim f(x) \pm \lim g(x)=A\pm B$

$\lim[f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x) \cdot \lim g(x)=A\cdot B$

如果 $B \neq 0$，

$\lim\cfrac{f(x)}{g(x)}=\cfrac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\cfrac{A}{B}$

推论：

如果$\lim f(x)$存在，那么，

$\lim[c\cdot f(x)]=c\cdot\lim f(x)$

$\lim[f(x)]^n=[\lim f(x)]^n$

如果在相应的局部，有$f(x) \ge g(x)$，且$\lim f(x)=A,\lim g(x)=B$，那么$A \ge B$

夹逼定理（squeeze theorem）

在相应的局部有$g(x) \le f(x) \le h(x)$，

且$\lim g(x)=\lim h(x) = L$

那么 $\lim f(x)=L$

复合函数的极限

$y=f[g(x)]$在$\mathring{U}(x_0)$上有定义，

如果$\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=u_0,\lim_{u\rightarrow u_0}f(u)=L$，

且$\exist\delta_0\gt0$，当$x\in\mathring{U}(x_0,\delta_0)$时，有$g(x)\neq u_0$，则：

$$\lim_{x\rightarrow x_0}f[g(x)]=\lim_{u\rightarrow u_0}f(u)=L$$

此定义如前面的定义，依然要去掉等于$x_0$（这里是$u_0$）这个点。

极限的逼近，可能是任意方式的逼近，逼近但不能相同。（靠近但不能接触）

如果没有$g(x)\neq u_0$这个条件，就有可能出现$\lim_{u\rightarrow u_0}f(u) \neq L$的情况，比如，在定义域内$g(x)=u_0$，$f$在$x_0$点不连续，此时$f(x)$已经没有了逼近的过程。

渐近线（asymptote）

如果有$\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=L$或$\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=L$，

那么直线$y=L$就是函数$y=f(x)$的水平渐近线。

水平渐近线最多只会有两条，一左一右。

如果有$\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=\pm\infty$或$\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=\pm\infty$，

那么直线$x=x_0$就是函数$y=f(x)$的垂直渐近线。

垂直渐近线可以有无数条。

如果有$\lim_{x\rightarrow -\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$或$\lim_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$，

那么直线$y=ax+b$就是函数$y=f(x)$的斜渐近线（slant asymptote）。

定理：

单调有界，必有极限。

无穷小的比较

已知$\alpha$和$\beta$是同一自变量的变化过程中的无穷小，且在相应的局部，有$\alpha \neq 0$，如果：

（1）$\lim \cfrac{\beta}{\alpha}=0$，则称$\beta$是比$\alpha$高阶的无穷小（infinitesimal of higher order），记作$\beta=o(\alpha)$；

（2）$\lim \cfrac{\beta}{\alpha}=\infty$，则称$\beta$是比$\alpha$低阶的无穷小（infinitesimal of lower order）；

（3）$\lim \cfrac{\beta}{\alpha}=c\neq0$，则称$\beta$是与$\alpha$同阶的无穷小（infinitesimal of same order）；

（4）$\lim \cfrac{\beta}{\alpha^k}=c\neq0$，则称$\beta$是关于$\alpha$ k阶的无穷小（infinitesimal of order k）；

（5）$\lim \cfrac{\beta}{\alpha}=1$，则称$\beta$与$\alpha$是等价的无穷小（equivalent infinitesimal），写作$\alpha\sim\beta$；

高阶就是更快地趋向无穷小。

定理

$\alpha$与$\beta$为等价无穷小的充要条件是：

$$\beta-\alpha=o(\alpha) \iff \beta\sim\alpha$$

等价无穷小的替换

设$\alpha\sim\alpha_1,\beta\sim\beta_1$，

且$\lim\cfrac{\alpha_1}{\beta_1}$存在，

则$\lim\cfrac{\alpha}{\beta}=\lim\cfrac{\alpha_1}{\beta_1}$

函数总是自己的等价无穷小，所以这个定理在应用时，可以只替换一部分。

定理

当$x\rightarrow 0$时有：

（1）$\sin{x}\sim x$

（2）$\tan{x}\sim x$

（3）$\arcsin{x}\sim x$

（4）$\arctan{x}\sim x$

（5）$\ln(1+x)\sim x$

（6）$e^x-1\sim x$

（7）$(1+x)^a-1\sim ax$

（8）$1-\cos{x}\sim\cfrac{1}{2} x^2$

连续与间断

定义

设函数$y=f(x)$在$x_0$点的某一领域内有定义，令：

$\Delta{x}=x-x_0,\Delta{y}=f(x_0+\Delta{x})-f(x_0)$

如果：

$$\lim_{\Delta{x}\rightarrow0}\Delta{y}=0$$

那么，就称函数$f(x)$在$x_0$点连续（continuous）。

函数连续的定义，是在一个点上的定义。

另一个等价的连续定义

设函数$y=f(x)$在$x_0$点的某一领域内有定义，如果：

$$\lim_{x\rightarrow{x_0}}f(x)=f(x_0)$$

那么就称函数$f(x)$在$x_0$点连续（continuous)。

左连续

如果有：

$$\lim_{x\rightarrow{x_0^-}}f(x)=f(x_0)$$

那么就说函数$y=f(x)$在$x_0$点左连续。

右连续

如果有：

$$\lim_{x\rightarrow{x_0^+}}f(x)=f(x_0)$$

那么就说函数$y=f(x)$在$x_0$点右连续。

说函数在闭区间上连续，其在两端点处，就是右连续和左连续。

连续的充要条件

$$\lim_{x\rightarrow{x_0^-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow{x_0^+}}f(x)=f(x_0)\iff\lim_{x\rightarrow{x_0}}f(x)=f(x_0)$$

连续函数的定义

在区间上每一个点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数（continuous function），或者说函数在该区间连续。如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续。

定义

设函数$y=f(x)$在$\mathring{U}(x_0)$有定义，

如果该函数有下列三种情况之一：

（1）在$x=x_0$点上没有定义；

（2）虽然在$x=x_0$点上有定义，但$\lim_{x\rightarrow{x_0}}f(x)$不存在；

（3）虽然在$x=x_0$点上有定义，且$\lim_{x\rightarrow{x_0}}f(x)$存在，但$\lim_{x\rightarrow{x_0}}f(x)\neq f(x_0)$

那么，称函数$y=f(x)$在$x_0$点不连续，$x_0$点称为函数$y=f(x)$的不连续点（discontinuity），或间断点。

不在定义域内的点，直接就是不连续。

无穷间断点（infinite discontinuity）

趋向无定义点的极限为无穷，比如$\tan{x}$在$\cfrac{\pi}{2}$整数倍时。

震荡间断点（oscillation discontinuity）

在趋向无定义点的过程中，无限等幅度震荡。比如$y=\sin{\cfrac{1}{x}}$在趋向0点时。

可去间断点（removable discontinuity）

这个点在连续函数的定义域中被拿掉了。

跳跃间断点（jump discontinuity）

这个点的值，从图形上看，发生了jump，突变。

定义

设$x_0$为函数$y=f(x)$的间断点（可能不在定义域内）：

（1）如果左极限和右极限都存在，则称$x_0$为该函数的第一类间断点（discontinuity of the first king）；

（2）其余的，都称为第二类间断点（discontinuity of the second kind)。

定理

设函数$f(x)$和$g(x)$在$x_0$点连续，则它们的和差积商（$g(x_0)\neq0$）都在$x_0$点连续。

定理

如果函数$f(x)$在区间$I_x$上严格单增（或严格单减）且连续，那它的反函数$x=f^{-1}(y)$在对应的区间$I_y$上依然严格单增（或严格单减）且连续。

连续的复合函数

设复合函数$y=f[g(x)]$，在$\mathring{U}(x_0)$有定义，若$\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=u_0$，函数$f$在$u_0$点连续，则：

$$\lim_{x\rightarrow x_0}f[g(x)]=\lim_{u\rightarrow u_0}f(u)=f(u_0)$$

还可以写作（$\lim$符号可以穿透连续函数$f$）：

$$\lim_{x\rightarrow x_0}f[g(x)]=f(\lim_{x\rightarrow x_0}g(x))=f(u_0)$$

$f(x)$已经连续，$g(x)$是否等于$u_0$，就无所谓了。

连续的复合函数2

设复合函数$y=f[g(x)]$，在$\mathring{U}(x_0)$有定义，若函数$g(x)$在$x_0$点连续，且$g(x_0)=u_0$，而函数$f$在$u_0$点连续，则函数$y=f[g(x)]$在$x_0$点连续。

连连看...

定义

基本初等函数，在自然定义域内，都连续。

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合构成的、且可用一个式子表示的函数称为 初等函数（Elementary functions）。

根据连续函数和、差、积、商的连续性以及复合函数的连续性可知，初等函数在自然定义域上也都是连续函数。

定义，最值和极值

对在某区间$I$有定义的函数$y=f(x)$，对于$a\in I$

$f(a)$是最大值（absolute maximum），当且仅当$\forall x\in I$，有$f(a) \ge f(x)$
$f(a)$是最小值（absolute minimum），当且仅当$\forall x\in I$，有$f(a) \le f(x)$

两者统称为最值（absolute/global extremum）。

趋向于无穷，或开区间上的函数，就没有最值。

已知函数$y=f(x)$，则：

$f(a)$是极大值（local maximum），当且仅当$\exist\delta\gt0,\forall x\in \mathring{U}(a,\delta)$，有$f(a)\ge f(x)$
$f(a)$是极小值（local minimum），当且仅当$\exist\delta\gt0,\forall x\in \mathring{U}(a,\delta)$，有$f(a)\le f(x)$

两者统称为极值（local extremum）。

极值是个局部的概念，要有一个领域。

定理

闭区间上的连续函数，

有界，至少有一个有最大值和最小值。

零点定理（IVT）

设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$和$f(b)$异号，则在开区间$(a,b)$内，至少有一个点$c$，使得$f(c)=0$。

英文教材称此定理是IVT（Intermediate Value Theorem），基于此定理，再加上Bisection Method，可以用来解方程。

介值定理

设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且在两端点处取不同的值，即：$f(a)=A,f(b)=B,A\neq B$，则对于A、B之间的一个数C，在开区间$(a,b)$内，至少有一个点$c$，使得$f(c)=C,c\in(a,b)$

推论：

在闭区间$[a,b]$上连续的函数$y=f(x)$，其值域为闭区间$[m,M]$，其中$m$和$M$依次为$f(x)$在$[a,b]$的最小值与最大值。

本文链接：https://cs.pynote.net/math/202207111/

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