微分中值定理,洛必达法则

Last Updated: 2024-05-26 11:33:57 Sunday

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费马引理

定理,设函数\(f(x)\)在点\(x_0\)的某领域\(U(x_0)\)内有定义,且在\(x_0\)点可导,如果\(\forall x\in U(x_0)\),有:

\(f(x)\le f(x_0)\)(或\(f(x)\ge f(x_0)\))

那么,\(f'(x_0)=0\)

可导函数的极值点的导数为0。

驻点(Stationary Point)

导数为0的点,称为驻点。

导数可以理解为速度(变化率或敏感度),所以\(f'(x_0)=0\)意味着在\(x_0\)点的速度为 0,也就是停驻的意思。所以满足导数为 0 的点也称为驻点(stationary points)

驻点不一定是极值点,比如\(y=x^3\)在\(x=0\)这个点。

极值点也不一定是驻点,因为有可能那个点不可导。

罗尔中值定理

如果函数\(y=f(x)\)满足:

那么,\(\exist\xi\in(a,b)\),使得\(f'(\xi)=0\)

数学就像编程一样,定理或接口函数,越一般化越好,限制条件越少越好。如果闭区间可导,显然这个开区间也可到,但闭区间可导就要更严格一点点。

拉格朗日中值定理

如果函数\(y=f(x)\)满足:

那么,\(\exist\xi\in(a,b)\),使得\(f'(\xi)=\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

罗尔中值定理,在拉格朗日中值定理的描述下,成了一个特例,但却可以用来证明拉格朗日中值定理。

zhongzhi_dingli.png

\(\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)可以理解为物体在a和b两个时刻之间移动的平均速度。

柯西中值定理

如果函数\(f(x)\)和\(g(x)\)满足:

那么,\(\exist\xi\in(a,b)\),使得\(\cfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\cfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\)

还是用平均速度来直观的理解柯西中值定理,此时,速度是一个二维向量,物体在平面的两个方向上都有速度。当物体在平面上,从一个点移动到另一个点的过程中,这中间一定有一个点的速度,等于此过程的平均速度。

kexi_zhongzhi_dingli.png

如果推广到N维空间的移动,应该也是OK的,只是除法只能表达二维。

洛必达法则

极限定义导数,导数又反过来协助求解极限。

\(\cfrac{0}{0}\) 型

则: \(\lim_{x\rightarrow a}\cfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\cfrac{f'(x)}{g'(x)}\)

则: \(\lim_{x\rightarrow +\infty}\cfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\cfrac{f'(x)}{g'(x)}\)

当\(x\rightarrow -\infty\)时也可以,以上条件做相应的修改。

直觉推导

当\(f(x),g(x)\)在\(x \rightarrow a\)的时候,有:

\(f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)\)

\(g(x) \approx g(a) + g'(a)(x-a)\)

由于\(f(a)=0,g(a)=0\),因此上下做个除法就得到了洛必达法则。

\(\cfrac{\infty}{\infty}\) 型

则: \(\lim_{x\rightarrow a}\cfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\cfrac{f'(x)}{g'(x)}\)

则: \(\lim_{x\rightarrow +\infty}\cfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\cfrac{f'(x)}{g'(x)}\)

当\(x\rightarrow -\infty\)时也可以,以上条件做响应的修改。

以上条件都要求求导之后的极限存在,如果求导之后的极限不存在,并不能说明原式子的极限也不存在,要换个方法计算。洛必达法则不是万能!

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