Last Updated: 2024-05-03 14:56:00 Friday
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逻辑的起点是概念，清晰地理解概念，才能开始有质量的理解和推导。本文的理解不一定严谨，也不一定对，是我自己的理解，我想尝试把一维向量和N维世界统一起来。
向量，即有大小，又有方向。
一维向量，有大小，但只有2个方向，正或负。
向量的大小，是它的长度；向量的方向，就是从起点到终点的方向。比如从A到B，可以表达为：\(\overrightarrow{AB}\)。
物理中不太在乎起点、终点具体在什么位置，而在数学中，始终把向量的起点放在原点\(O\)。
起点都在原点O，那\(\overrightarrow{AB}\)是什么意思？
我的理解：\(\overrightarrow{AB}\)这种有起点和终点，上面还带个箭头，是物理上习惯的表达，不是数学上的。数学上对向量的表达，就是单纯的行向量或列向量，因为起点总是在原点，也就可以将其省略了。
如果\(A=(x,y,z),B=(a,b,c)\)，那么：
\(\overrightarrow{AB} = (a-x,b-y,c-z)\)
左边是物理上的表达，右边是数学上的表达。理解左边的向量，不要关心原点在哪里。而右边的向量，原点已经明确是原点。
上图的\(\overrightarrow{AB}\)就是\(v\)，将A点移动到原点，才能与它的2个分量的值对应起来。
数学书上还存在一种用向量加法表达向量的方式，如下：
\((x,y,z) \iff u = xi+yj+zk\)
ijk分别是xyz三个坐标轴方向的单位向量。如下图所示：
数学上默认向量都是列向量，比如：
\(x=\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\end{bmatrix}\)，它等价于\(x=(1,2,3)\)（x不是行向量哦，这样表达是为了节省空间）。
一维的情况，所有点都在x轴\(R\)上，每个点有1个分量，\(x\)，长度是距离0点的距离，\(|x|=\sqrt{x^2}\)。
一维向量与标量是一样的，只是这两个名称分表代表了不同的范畴。
二维的情况，所有点都在xOy平面\(R^2\)上，每个点有2个分量，\((x_1,x_2)\)，长度是2个分量平方开根号，\(|x|=\sqrt{x_1^2+x_2^2}\)。
三维的情况，所有点都在三维空间\(R^3\)中，每个点有3个分量，\((x_1,x_2,x_3)\)，长度是\(|x|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}\)。
......
N维的情况，所有点都在\(R^n\)高维空间中，每个点有n个分量，\((x_1,x_2,\cdots,x_n)\)，长度是\(|x|=\sqrt{\Sigma_{i=1}^{n}x_i^2}\)。
每个分量的值，就是那个维度的坐标。
值就是坐标。
向量长度与数量的绝对值是统一的，有时向量长度使用\(||x||\)。
向量就是空间中的一个数，这个数本身具有大小和方向这两个属性。
如果我们将一维数据也纳入向量的范畴，那么：
向量就是一个数，其计算都满足交换律，结合律，分配率：
\(u+v = v+u\)
\((u+v)+w=u+(v+w)\)
\(k(u+v) = ku+kv\)，其中\(k\)是标量。
以上算式，对于任意维度的向量而言，都满足，包括一维。
\(v-v=0\)，这里的0是与v维度相同的0向量。
方向余弦组成的向量，就是向量所在方向的单位向量。
每个余弦的夹角，都是向量与轴的正方向的夹角。
二维空间方向余弦举例如下：
\((\cos\alpha,\cos\beta)=(\cfrac{a}{|u|},\cfrac{b}{|u|})=\cfrac{1}{|u|}(a,b)=\cfrac{u}{|u|}=e_u\)
因此，\((\cos\alpha)^2+(\cos\beta)^2=1\)
这个结论推广到\(R^n\)也一样成立。
对于一维空间R，\(\alpha\)角度或0或\(\pi\)，其\(\cos\)值，或1或-1。而\(\cos\beta=0\)，因为\(b=0\)，同样满足上述结论。
另外，\(\alpha+\beta=\cfrac{\pi}{2}\)，这是一种常见的表达方式：\(\begin{bmatrix} \cos\alpha\\ \sin\alpha\end{bmatrix}\)
设\(a=(a_1,a_2),b=(b_1,b_2)\)，那么，
\(a\cdot b=a_1 b_1 + a_2 b_2=|a||b|\cos\theta\)
同维度分量相乘，然后相加，结果是一个标量。
N维向量的点积也是如此定义。
一维向量只有一个分量，两个数相乘，还是一个数，依然符合点积的定义。
所以，普通乘法实际上是向量的点积在一维情况下的特例。
乘法满足交换律，结合律，以及分配率：
\(a\cdot b=b\cdot a\)
\((\lambda a)\cdot b=\lambda(a\cdot b)\)，\(\lambda\)是个标量
\(a\cdot(b+c)=a\cdot b + a\cdot c\)
一维向量的\((ab)c=a(bc)\)成了一种特例，标量和向量在一维空间统一了。
向量乘法（点积）的真正含义
向量的长度用点积来表达：\(|x|=\sqrt{x\cdot x}\)
点积，dot product，还有个名称，内积，inner product。执行点积后，方向消失。
两个向量\(a,b\)，其夹角\(\theta\)，
\(\cos\theta=\cfrac{a\cdot b}{|a||b|}\)
规定向量夹角的区间为\([0,\pi]\)，在此区间，\(\cos\)函数具有反函数，因此可以很优雅的将余弦值与夹角等价起来。（这也是选择余弦的原因吧...）
两单位向量点积的结果，是这两个单位向量夹角的余弦。
在一维情况下，两向量一定都在x轴上，夹角只有0或\(\pi\)，按上式计算，值只有1或-1，完美对应。
当量向量夹角为90度时，夹角余弦等于0（点积为0即可），此时我们说两向量正交（perpendicular vector）。
而平行表示，夹角为0位\(\pi\)，都算作平行向量。
在N维空间，与某一向量正交或平行的向量，无穷多。比如三维空间可以一个面（plane）与某个向量垂直。
零向量也有维度，N维空间零向量，就是N个值为0的分量。
零向量的位置在原点。
零向量的长度为0。
零向量的方向任意。因此，零向量与任意其它向量都同时平行和正交。
通过画出三维空间，遵循右手法则：
右手大拇指为z，其它4根手指指向x，手臂为y。
二维平面中，一条直线方程的一般形式，与三维空间中，一个平面的一般形式，是和谐和美好的：
上图的线和面都经过了原点，因为都=0，即没有bias。
宇宙从零维空间开始。零维空间，只有1个点，其它什么没有，是宇宙大爆炸之前的奇点状态。
数学从一维空间开始。在一维空间，有线（line）。x轴上的每个点，都与原点连成一条线。一维空间只有这一条线。
在二维空间，有线也有面（plane）。xy平面上的每个点，都与原点连成一条线，xy平面上有无数条这样的线，但xy平面空间，只有一个平面。
在三维空间，有线，有面，也有空间（space）。xyz空间中的每个点，都与原点连成一条线，这样的线有无穷多。xyz空间中的任意两条独立的线，组成一个平面，这样的平面有无穷多。xyz只有一个空间。
在高维空间中，有线，有面，有子空间（hyperplane，subspace）。依然有，每个点与原点连成一条线，两条独立的线形成一个面，三条独立的线形成一个子空间......
这是线性代数的核心概念。
两个向量\(v,w\)，两个标量\(a,b\)，
\(av+bw\)就是线性组合。
如果\(v\)与\(w\)不共线，即不在同一条线上，这两个向量就是相互独立的，independent；如果共线，即在一条线上，只是与原点的距离可能不相同，这两个向量就是相关联的，dependent。
\(av\)，是一条线，经过原点；随着a的变化，这条线可以表达v方向（正负）的任意向量，填满整条无穷延伸的线。
\(av+bw\)，是一个面，经过原点（假设向量都independent）；随着a和b的变化，填满整个平面。
\(av+bw+cu\)，是一个三维空间，经过原点（假设向量都independent）；...，填满整个空间。
\(av+bw+cu+dn\)，是一个四维空间，经过原点（假设向量都independent）；...，填满整个四维空间。
......
可以很容易的想象，如果是两个dependent的vector，在线性组合的时候，跟只有其中任意一个vector没有区别，这两个dependent的vector，只有一个方向，只有一条line，并不能组成plane。
线性代数可以教你构建一幅N维空间的mental picture！
在线性代数中，矩阵乘向量的表达式随处可见，如：\(Ax=b\)，我们可以有多种不同的视角来解释这个表达式。
矩阵A列向量的线性组合。
\(A=(a_1,a_2,...,a_n)\)，\(a_i\)是列向量，
\(x=(x_1,x_2,...,x_n)\)
\(Ax=a_1 x_1+a_2 x_2+\cdots+a_n x_n=b\)
列视角看到的，是A的所有column的一个线性组合，x是组合所用的系数，组合的结果是向量b。
矩阵A行向量与x的点积。
A中行向量与x的点积的表达式，是一组hyperplane方程（每个维度只有一个线性分量），所有的这些hyperplane交于一个点x，这个点x能够满足所有方程。
A的所有列向量，都视作变化后的各个轴的方向以及缩放程度，从左到右，xyz...
左乘x，矩阵A作用于x，用旋转和缩放标准坐标系 到 A列向量确定的新坐标系的方式，旋转缩放x。
这叫做线性变换，无论是变换前的向量，还是变换后的向量，都是以标准坐标系（N维笛卡尔坐标系）为参考。
用旋转来观察\(\begin{bmatrix}2&-1\\1&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\5\end{bmatrix}\)
更多例子：
仿射变换，Affine Transformation
下面这个case，可以这样表达：\(\begin{bmatrix}1&1&1\\0&-1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}\)
从旋转视角理解单位矩阵\(I\)乘任何向量，向量都不变，因为\(I\)就是标准坐标系。
矩阵乘向量再加上一个偏移，可以合并成一个计算：
形如 \(y=Ax+b\) ，一个线性变换加上一个偏移，就叫做仿射变换！
仿字应该是affine的音译。
我们常用的向量间的L1/L2距离，属于这个范畴：
The 2-norm is sometimes called the
Euclidean vector norm, because \(||x−y||_2\) yields the Euclidean distance between any two vectors \(x,y\in R^n\). The 1-norm is also called thetaxicab metric(sometimesManhattan metric) since the distance of two points can be viewed as the distance a taxi would travel on a city (horizontal and vertical movements).
将L2 vector norm推广到matrix上，就是Frobenius Norm：
\(F=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m a_{ij}^2}=\sqrt{Tr(A^TA)}\)
这个norm计算，可用来判断两个matrix是否算是相等的，自己设个精度：
assert np.linalg.norm(dists2-dists1,ord='fro') < 0.000001
assert np.linalg.norm(dists1-dists0,ord='fro') < 0.000001
这是在cs231n课程的assignment1中学到的方法。
假设有两个矩阵\(A_{m\times n}\)和\(B_{k\times n}\)，要计算得到一个矩阵\(C_{k\times m}\)，其中\(C_{ij}\)表示\(B\)的第\(i\)行与\(A\)的第\(j\)行的L2距离。
计算方法有多种，可以2个循环，1个循环，或没有循环。
本文总结的超快的方法，没有循环。
数学原理：
\(||X - Y||\\ = \sqrt{(x_0-y_0)^2+(x_1-y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}\\ = \sqrt{(x_0^2+x_1^2+\cdots+x_n^2)+(y_0^2+y_1^2+\cdots+y_n^2)-2(x_0y_0+x_1y_1+\cdots+x_ny_n)}\)
然后，我们可以构造矩阵，以没有循环的方式来计算上诉问题。下面用代码表示：
def compute_distances_no_loops(self, X):
"""
Compute the distance between each test point in X and each training point
in self.X_train using no explicit loops.
Input / Output: Same as compute_distances_two_loops
"""
num_test = X.shape[0]
num_train = self.X_train.shape[0]
dists = np.zeros((num_test, num_train))
a = np.reshape(np.sum(X**2,axis=1),(num_test,1)) @ np.ones((1,num_train))
b = self.X_train.T
b = np.ones((num_test,1)) @ np.reshape(np.sum(b**2,axis=0),(1,num_train))
dists = np.sqrt(a + b - 2*(X@self.X_train.T))
return dists
下面是计算速度比较，分别与2个循环，1个循环比较：
Two loop version took 59.844741 seconds
One loop version took 37.532001 seconds
No loop version took 0.933600 seconds
Nice...（如果是AMD芯片，有可能出现one loop用时比two loops更多的情况）
本文链接：https://cs.pynote.net/math/202209061/
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