集合数学基础
Last Updated: 2024-01-13 09:32:06 Saturday
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集合是一个数学概念，一般我们把研究对象称为元素（element），元素集中在一起，成为集合（set）。数学中，集合用{}来表示，一般用大写字母表示某个集合，用小写字母表示其中的元素。
常见的集合：
- 自然数集
N
- 整数集
Z
- 正整数集\(Z_+\)
- 有理数集
Q
- 实数集
R
- 复数集
C
一般的，如果集合中包含我们所要研究对象的全部元素，则称为全集U！
集合元素的特征：
- 确定性，给定一个集合，某个元素在或不在此集合中是确定的。
- 互异性，一个集合中的元素不可重复。
- 无序性，集合中的元素无序。
集合的分类：
- 有限集，finite set
- 无限集，infinite set
- 空集，不含有任何元素，\(\empty\)
集合的表达方法：
- 列举法
- 描述法，用集合中所有元素的共同特征表示集合
- Venn图法（维恩图，文氏图）
集合间的基本关系：
- 子集（subset），对于两个集合A和B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集，记做\(A\subseteq B\)。
- 真子集（proper subset），若集合A是B的子集，但存在元素x属于B但不属于A，\(x\in B, x\notin A\)，则称集合A是集合B的真子集，记作\(A\subset B\)。
- 超集（super subset），上述两种情况，B就是A的超集，\(B\supseteq A\)。
- 集合相等，每个元素（如果有）都同时属于这两个相等的集合。
- 任何一个集合都是它自己的子集，\(A\subseteq A\)
- 空集是任何集合的子集，\(\empty\subseteq A\)
- 空集是任何非空集合的真子集，\(\empty\subset A, A\neq\empty\)
- 对于有n个元素的集合，则它的子集有 \(2^n\) 个，真子集有 \(2^n-1\) 个。当\(n\neq 0\)时，非空真子集有 \(2^n-2\) 个。
集合间的基本运算：
- 交集，intersection，\(A\cap B=\{x\mid x\in A\text{ and }x\in B \}\)，或\(AB\)。不相交的部分叫做disjoint。
- 并集，union，\(A\cup B=\{x\mid x\in A\text{ or }x\in B \}\)，或\(A+B\)。
- 补集，complement，\(\complement_{U} A\)（U表示全集），或\(\overline{A}\)。
- 差集，difference，\(A-B=\{x\mid x\in A\text{ and }x\notin B\}\)
本文链接：https://cs.pynote.net/math/202309256/
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