常用数学公式和定理

Last Updated: 2024-03-23 14:49:37 Saturday

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本文汇总常用的数学公式和定理,这些基本都是中学数学的内容,是进行有效的高等数学学习的重要基础。欢迎程序员同学收藏!

函数的单调性(Monotonicity)

A function f(n)f(n) is monotonically increasing if mnm\le n implies f(m)f(n)f(m)\le f(n). Similarly, it is monotonically decreasing if mnm\le n implies f(m)f(n)f(m)\ge f(n). A function f(n)f(n) is strictly increasing if m<nm\lt n implies f(m)<f(n)f(m)\lt f(n) and strictly decreasing if m<nm\lt n implies f(m)>f(n)f(m)\gt f(n).

幂运算(Exponent Operation)

aman=am+n(am)n=amn(ab)m=ambmaman=amn,(if n0,a0)xa=1xa,(if a0,x0)x0=1amn=amn,(n0)xn+xn=2xnx2n2n+2n=2n+1\begin{align} a^ma^n &= a^{m+n}\notag \\ (a^m)^n &= a^{mn}\notag \\ (ab)^m &= a^m{\cdot}b^m\notag \\ \frac{a^m}{a^n} &= a^{m-n},(\text{if }n\neq0, a\neq0)\notag \\ x^{-a} &= \cfrac{1}{x^a},(\text{if }a\neq0, x\neq0)\notag \\ x^0 &= 1\notag \\ a^{\frac{m}{n}} &= \sqrt[n]{a^m},(n\neq0)\notag \\ x^n + x^n &= 2\cdot x^n \neq x^{2n}\notag \\ 2^n + 2^n &= 2^{n+1}\notag \end{align}

对零次方的推导:

xaxa=xaa=xaxa=1=x0x^a\cdot x^{-a}=x^{a-a}=\cfrac{x^a}{x^a}=1=x^0

分数次幂就是开根号:

(x1n)n=xx1n=xn(x^{\frac{1}{n}})^n=x \Longrightarrow x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}

幂函数

幂函数y=axy=a^x会要求a>0,a1a\gt0,a\neq1,有y>0y\gt0

对数

对数计算的底数a>0,a1a\gt0,a\neq1,与幂函数的规定对应。

logaxlogay=logaxylogax+logay=logaxylogabn=nlogablogamb=1mlogablogab=logablogaa=logcblogcaalogbc=clogbalog2x<x, x>0\begin{align} \log_ax - \log_ay &= \log_a\frac{x}{y}\notag \\ \log_ax + \log_ay &= \log_a{xy}\notag \\ \log_a{b^n} &= n\cdot\log_ab\notag \\ \log_{a^m}{b} &= \frac{1}{m}\cdot\log_ab\notag \\ \log_ab =\frac{\log_ab}{\log_aa}&=\frac{\log_cb}{\log_ca}\notag \\ a^{\log_bc} &= c^{\log_ba}\notag \\ \log_2{x} &< x,\ \forall x>0 \notag \\ \end{align}

对数函数

对数函数y=logaxy=\log_ax规定a>0,a1a\gt0,a\neq1,有x>0x\gt0

多项式(Polynomial)

a2b2=(a+b)(ab)(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b31±x3=(1±x)(1x+x2)a3±b3=(a±b)(aab+b2)(a+b)u=au(1+ba)u=bu(ab+1)u\begin{align} a^2 - b^2 &= (a+b)\cdot(a-b)\notag \\ (a \pm b)^2 &= a^2 \pm 2ab + b^2\notag \\ (a \pm b)^3 &= a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3\notag \\ 1 \pm x^3 &= (1 \pm x)(1 \mp x+x^2)\notag \\ a^3 \pm b^3 &= (a \pm b)(a \mp ab+b^2)\notag \\ (a + b)^u &= a^u(1+\frac{b}{a})^u\notag \\ &= b^u(\frac{a}{b} +1)^u\notag \end{align}

牛顿二项式(Binomial)定理

(a±b)n=r=0nCnr(1)ranrbr(a \pm b)^n = \sum_{r=0}^{n}C_n^r \cdot (-1)^r \cdot a^{n-r} \cdot b^r

CnrC_n^r是一个组合数。rr可以理解为b的幂次。

把二项式的系数按n从小到大取值,每个n一行,堆在一起,就是杨辉三角

幂指函数

[f(x)]g(x)=eg(x)lnf(x), (f(x)>0)[f(x)]^{g(x)} = e^{g(x)\cdot\ln{f(x)}},\ (f(x)>0)

三角函数计算公式

sin2α+cos2α=11+tan2α=sec2α1+cot2α=csc2αsin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(ab)=sinacosbcosasinbcos(a+b)=cosacosbsinasinbcos(ab)=cosacosb+sinasinbsina+sinb=2sina+b2cosab2sinasinb=2cosa+b2sinab2cosa+cosb=2cosa+b2cosab2sinasinb=2sina+b2sinab2tana+tanb=sin(a+b)cosacosb1cos2x=2sin2x1+cos2x=2cos2x1±sin2x=(sinx±cosx)2\begin{aligned} \sin^2\alpha + \cos^2\alpha &= 1 \\ 1 + \tan^2\alpha &= \sec^2\alpha \\ 1 + \cot^2\alpha &= \csc^2\alpha \\ \sin(a+b) &= \sin{a}\cos{b}+\cos{a}\sin{b}\\ \sin(a-b) &= \sin{a}\cos{b}-\cos{a}\sin{b} \\ \cos(a+b) &= \cos{a}\cos{b}-\sin{a}\sin{b} \\ \cos(a-b) &= \cos{a}\cos{b}+\sin{a}\sin{b} \\ \sin{a}+\sin{b} &= 2{\cdot}\sin{\frac{a+b}{2}}{\cdot}\cos{\frac{a-b}{2}} \\ \sin{a}-\sin{b} &= 2{\cdot}\cos{\frac{a+b}{2}}{\cdot}\sin{\frac{a-b}{2}} \\ \cos{a}+\cos{b} &= 2{\cdot}\cos{\frac{a+b}{2}}{\cdot}\cos{\frac{a-b}{2}} \\ \sin{a}-\sin{b} &= -2{\cdot}\sin{\frac{a+b}{2}}{\cdot}\sin{\frac{a-b}{2}} \\ \tan{a}+\tan{b} &= \frac{\sin{(a+b)}}{\cos{a}{\cdot}\cos{b}} \\ 1-\cos{2x} &= 2{\cdot}\sin^2{x} \\ 1+\cos{2x} &= 2{\cdot}\cos^2{x} \\ 1 \pm \sin{2x} &= (\sin{x} \pm \cos{x})^2 \end{aligned}

sin(a+b)\sin(a+b)这个公式可以说最重要,但是它很好记忆。它下面的哪些公式,都可以用这个(*)来推导,具体可参考:和差化积公式的推导,二倍角公式的推导。

解一元二次方程

ax2+bx+c=0,Δ=b24acax^2+bx+c=0,\Delta=b^2-4ac ,当 Δ<0\Delta\lt0 时,无实数根,

求根公式:x=b±Δ2ax=\cfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}

推导:

ax2+bx+c=a(x2+bax+ca)=a(x2+bax+b24a2+cab24a2)=a((x+b2a)2+4acb24a2)=0ax^2+bx+c \\ = a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}) \\ = a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}) \\ = a((x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2})\\ = 0

然后就可以解出x了!

韦达定理应用于一元二次方程

韦达定理说明了一元方程中根和系数之间的关系。法国数学家弗朗索瓦·韦达(F. Vieta,1540—1603)于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系,提出了这条定理。由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,人们把这个关系称为韦达定理。

当一元二次方程存在两个根时:

{x1+x2=bax1x2=ca\begin{cases} x_1+x_2=-\cfrac{b}{a} \\ x_1x_2=\cfrac{c}{a} \\ \end{cases}

平均数

总结4种平均数

数列和

数列和

绝对不等式

在一个不等式中,如果不论用任何实数代入该不等式,它都是成立的,那么这样的不等式叫作绝对不等式。比如:r20r^2 \ge 0

(1) ababa+b|a|-|b| \le |a-b| \le |a|+|b|

ab|a-b| 表示两点间的距离,与 ba|b-a| 相等。

(2) x+yx+y|x+y| \le |x|+|y|

仔细想想,以上字母代表的数字都在R内,加和减还有什么区别呢,因此:

(3) aba±ba+b|a|-|b| \le |a \pm b| \le |a|+|b|

其实:aba±ba+b||a|-|b|| \le |a \pm b| \le |a|+|b|

(4) 三角不等式: acab+bc|a-c| \le |a-b| + |b-c|

(5) a为圆心,r为半径:xar    (ar)x(a+r)|x-a| \le r \iff (a-r) \le x \le (a+r)

推导:

x=xy+yxy+y|x| = |x-y+y| \le |x-y|+|y|xyxy|x|-|y| \le |x-y|

x=x+yyx+y+y|x| = |x+y-y| \le |x+y|+|y|xyx+y|x|-|y| \le |x+y|

基本不等式

x0,y0x\ge0,y\ge0时,算术平均数大于等于几何平均数,当x=yx=y时取等号:

x+y2xy\cfrac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}

基本不等式的一般形式,xi0x_i\ge0

(i=1nxi)1n(i=1nxi)1n\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)\cdot\cfrac{1}{n}\ge\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\frac{1}{n}}

扇形面积

设扇形对应的源半径为rr,扇形弧长为ll,其面积公式为:

πr2l2πr=12rl\pi r^2 \cdot \frac{l}{2\pi r} = \frac{1}{2} \cdot r\cdot l

弧度与弧长的关系:

2πr2\pi r的弧长对应 2π2\pi 弧度,因此任何弧度θ\theta与对应弧长ll的关系是:

l2πr=θ2π\frac{l}{2\pi r} = \frac{\theta}{2\pi}

得到:

θ=lr\theta = \frac{l}{r}

因此扇形面积公式还可以是:

πr2l2πr=12rl=12r2θ\pi r^2 \cdot \frac{l}{2\pi r} = \frac{1}{2}rl = \frac{1}{2} r^2 \theta

本文链接:https://cs.pynote.net/math/202109097/

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