Last Updated: 2024-03-23 14:49:37 Saturday
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本文汇总常用的数学公式和定理，这些基本都是中学数学的内容，是进行有效的高等数学学习的重要基础。欢迎程序员同学收藏！
A function \(f(n)\) is monotonically increasing if \(m\le n\) implies \(f(m)\le f(n)\). Similarly, it is monotonically decreasing if \(m\le n\) implies \(f(m)\ge f(n)\). A function \(f(n)\) is strictly increasing if \(m\lt n\) implies \(f(m)\lt f(n)\) and strictly decreasing if \(m\lt n\) implies \(f(m)\gt f(n)\).
$$\begin{align} a^ma^n &= a^{m+n}\notag \\ (a^m)^n &= a^{mn}\notag \\ (ab)^m &= a^m{\cdot}b^m\notag \\ \frac{a^m}{a^n} &= a^{m-n},(\text{if }n\neq0, a\neq0)\notag \\ x^{-a} &= \cfrac{1}{x^a},(\text{if }a\neq0, x\neq0)\notag \\ x^0 &= 1\notag \\ a^{\frac{m}{n}} &= \sqrt[n]{a^m},(n\neq0)\notag \\ x^n + x^n &= 2\cdot x^n \neq x^{2n}\notag \\ 2^n + 2^n &= 2^{n+1}\notag \end{align}$$
对零次方的推导：
\(x^a\cdot x^{-a}=x^{a-a}=\cfrac{x^a}{x^a}=1=x^0\)
分数次幂就是开根号：
\((x^{\frac{1}{n}})^n=x \Longrightarrow x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}\)
幂函数\(y=a^x\)会要求\(a\gt0,a\neq1\)，有\(y\gt0\)
对数计算的底数\(a\gt0,a\neq1\)，与幂函数的规定对应。
$$\begin{align} \log_ax - \log_ay &= \log_a\frac{x}{y}\notag \\ \log_ax + \log_ay &= \log_a{xy}\notag \\ \log_a{b^n} &= n\cdot\log_ab\notag \\ \log_{a^m}{b} &= \frac{1}{m}\cdot\log_ab\notag \\ \log_ab =\frac{\log_ab}{\log_aa}&=\frac{\log_cb}{\log_ca}\notag \\ a^{\log_bc} &= c^{\log_ba}\notag \\ \log_2{x} &< x,\ \forall x>0 \notag \\ \end{align}$$
对数函数\(y=\log_ax\)规定\(a\gt0,a\neq1\)，有\(x\gt0\)
$$\begin{align} a^2 - b^2 &= (a+b)\cdot(a-b)\notag \\ (a \pm b)^2 &= a^2 \pm 2ab + b^2\notag \\ (a \pm b)^3 &= a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3\notag \\ 1 \pm x^3 &= (1 \pm x)(1 \mp x+x^2)\notag \\ a^3 \pm b^3 &= (a \pm b)(a \mp ab+b^2)\notag \\ (a + b)^u &= a^u(1+\frac{b}{a})^u\notag \\ &= b^u(\frac{a}{b} +1)^u\notag \end{align}$$
$$(a \pm b)^n = \sum_{r=0}^{n}C_n^r \cdot (-1)^r \cdot a^{n-r} \cdot b^r$$
\(C_n^r\)是一个组合数。\(r\)可以理解为b的幂次。
把二项式的系数按n从小到大取值，每个n一行，堆在一起，就是杨辉三角。
$$[f(x)]^{g(x)} = e^{g(x)\cdot\ln{f(x)}},\ (f(x)>0)$$
$$\begin{aligned} \sin^2\alpha + \cos^2\alpha &= 1 \\ 1 + \tan^2\alpha &= \sec^2\alpha \\ 1 + \cot^2\alpha &= \csc^2\alpha \\ \sin(a+b) &= \sin{a}\cos{b}+\cos{a}\sin{b}\\ \sin(a-b) &= \sin{a}\cos{b}-\cos{a}\sin{b} \\ \cos(a+b) &= \cos{a}\cos{b}-\sin{a}\sin{b} \\ \cos(a-b) &= \cos{a}\cos{b}+\sin{a}\sin{b} \\ \sin{a}+\sin{b} &= 2{\cdot}\sin{\frac{a+b}{2}}{\cdot}\cos{\frac{a-b}{2}} \\ \sin{a}-\sin{b} &= 2{\cdot}\cos{\frac{a+b}{2}}{\cdot}\sin{\frac{a-b}{2}} \\ \cos{a}+\cos{b} &= 2{\cdot}\cos{\frac{a+b}{2}}{\cdot}\cos{\frac{a-b}{2}} \\ \sin{a}-\sin{b} &= -2{\cdot}\sin{\frac{a+b}{2}}{\cdot}\sin{\frac{a-b}{2}} \\ \tan{a}+\tan{b} &= \frac{\sin{(a+b)}}{\cos{a}{\cdot}\cos{b}} \\ 1-\cos{2x} &= 2{\cdot}\sin^2{x} \\ 1+\cos{2x} &= 2{\cdot}\cos^2{x} \\ 1 \pm \sin{2x} &= (\sin{x} \pm \cos{x})^2 \end{aligned}$$
\(\sin(a+b)\)这个公式可以说最重要，但是它很好记忆。它下面的哪些公式，都可以用这个(*)来推导，具体可参考：和差化积公式的推导，二倍角公式的推导。
\(ax^2+bx+c=0,\Delta=b^2-4ac\) ，当 \(\Delta\lt0\) 时，无实数根，
求根公式：\(x=\cfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)
推导：
\(ax^2+bx+c \\ = a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}) \\ = a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}) \\ = a((x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2})\\ = 0\)
然后就可以解出x了！
韦达定理应用于一元二次方程
韦达定理说明了一元方程中根和系数之间的关系。法国数学家弗朗索瓦·韦达（F. Vieta，1540—1603）于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。
当一元二次方程存在两个根时：
\(\begin{cases} x_1+x_2=-\cfrac{b}{a} \\ x_1x_2=\cfrac{c}{a} \\ \end{cases}\)
在一个不等式中，如果不论用任何实数代入该不等式，它都是成立的，那么这样的不等式叫作绝对不等式。比如：\(r^2 \ge 0\)。
(1) \(|a|-|b| \le |a-b| \le |a|+|b|\)
\(|a-b|\) 表示两点间的距离，与 \(|b-a|\) 相等。
(2) \(|x+y| \le |x|+|y|\)
仔细想想，以上字母代表的数字都在R内，加和减还有什么区别呢，因此：
(3) \(|a|-|b| \le |a \pm b| \le |a|+|b|\)
其实：\(||a|-|b|| \le |a \pm b| \le |a|+|b|\)
(4) 三角不等式： \(|a-c| \le |a-b| + |b-c|\)
(5) a为圆心，r为半径：\(|x-a| \le r \iff (a-r) \le x \le (a+r)\)
推导：
\(|x| = |x-y+y| \le |x-y|+|y|\) 得 \(|x|-|y| \le |x-y| \)
\(|x| = |x+y-y| \le |x+y|+|y|\) 得 \(|x|-|y| \le |x+y| \)
当\(x\ge0,y\ge0\)时，算术平均数大于等于几何平均数，当\(x=y\)时取等号：
$$\cfrac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}$$
基本不等式的一般形式，\(x_i\ge0\)：
$$\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)\cdot\cfrac{1}{n}\ge\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\frac{1}{n}}$$
设扇形对应的源半径为\(r\)，扇形弧长为\(l\)，其面积公式为：
$$\pi r^2 \cdot \frac{l}{2\pi r} = \frac{1}{2} \cdot r\cdot l$$
弧度与弧长的关系：
\(2\pi r\)的弧长对应 \(2\pi\) 弧度，因此任何弧度\(\theta\)与对应弧长\(l\)的关系是：
$$\frac{l}{2\pi r} = \frac{\theta}{2\pi}$$
得到：
$$\theta = \frac{l}{r}$$
因此扇形面积公式还可以是：
$$\pi r^2 \cdot \frac{l}{2\pi r} = \frac{1}{2}rl = \frac{1}{2} r^2 \theta$$
本文链接：https://cs.pynote.net/math/202109097/
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