Last Updated: 2023-06-13 09:44:50 Tuesday
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常用数学公式总结，这些基本都是中学数学的内容，是进行有效的高等数学学习的重要基础。欢迎程序员同学收藏！
$$\begin{align} a^ma^n &= a^{m+n}\notag \\ (a^m)^n &= a^{mn}\notag \\ (ab)^m &= a^m{\cdot}b^m\notag \\ \frac{a^m}{a^n} &= a^{m-n},(\text{if }n\neq0, a\neq0)\notag \\ x^{-a} &= \cfrac{1}{x^a},(\text{if }a\neq0, x\neq0)\notag \\ x^0 &= 1\notag \\ a^{\frac{m}{n}} &= \sqrt[n]{a^m},(n\neq0)\notag \\ x^n + x^n &= 2\cdot x^n \neq x^{2n}\notag \\ 2^n + 2^n &= 2^{n+1}\notag \end{align}$$
对零次方的推导：
\(x^a\cdot x^{-a}\\ =x^{a-a}\\ =\cfrac{x^a}{x^a}\\ =1=x^0\)
幂函数\(y=a^x\)会要求\(a\gt0,a\neq1\)，有\(y\gt0\)
我们一般规定对数计算的底数\(a\gt0,a\neq1\)，与幂函数的规定对应。
$$\begin{align} \log_ax - \log_ay &= \log_a\frac{x}{y}\notag \\ \log_ax + \log_ay &= \log_a{xy}\notag \\ \log_a{b^n} &= n\cdot\log_ab\notag \\ \log_{a^m}{b} &= \frac{1}{m}\cdot\log_ab\notag \\ \log_ab =\frac{\log_ab}{\log_aa}&=\frac{\log_cb}{\log_ca}\notag (换底公式) \end{align}$$
对所有\(x>0\)，都有\(\log{x}<x\)。
对数函数\(y=\log_ax\)规定\(a\gt0,a\neq1\)，有\(x\gt0\)
$$\begin{align} a^2 - b^2 &= (a+b)\cdot(a-b)\notag \\ (a \pm b)^2 &= a^2 \pm 2ab + b^2\notag \\ (a \pm b)^3 &= a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3\notag \\ 1 \pm x^3 &= (1 \pm x)(1 \mp x+x^2)\notag \\ a^3 \pm b^3 &= (a \pm b)(a \mp ab+b^2)\notag \\ (a + b)^u &= a^u(1+\frac{b}{a})^u\notag \\ &= b^u(\frac{a}{b} +1)^u\notag \end{align}$$
$$\begin{align} \sum_{k=1}^n{k^2} &= 1^2+2^2+3^2+...+n^2\notag \\ &= \cfrac{2 n^3 + 3 n^2 + n}{6}\notag \\ &= \cfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\notag \end{align}$$
$$\sum_{k=1}^n a^k = a + a^2 + ... + a^n = \frac{a(1-a^n)}{1-a},(a\neq1) $$
$$(a \pm b)^n = \sum_{r=0}^{n}C_n^r \cdot (-1)^r \cdot a^{n-r} \cdot b^r$$
\(C_n^r\)是一个组合数。\(r\)可以理解为b的幂次。
把二项式的系数按n从小到大取值，每个n一行，堆在一起，就是杨辉三角。
$$[f(x)]^{g(x)} = e^{g(x)\cdot\ln{f(x)}},\ (f(x)>0)$$
$$\begin{align} \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \\ 1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha \\ 1 + \cot^2\alpha = \csc^2\alpha \\ \sin(a+b) = \sin{a}\cos{b}+\cos{a}\sin{b}\\ \sin(a-b) = \sin{a}\cos{b}-\cos{a}\sin{b} \\ \cos(a+b) = \cos{a}\cos{b}-\sin{a}\sin{b} \\ \cos(a-b) = \cos{a}\cos{b}+\sin{a}\sin{b} \\ \sin{a}+\sin{b} = 2{\cdot}\sin{\frac{a+b}{2}}{\cdot}\cos{\frac{a-b}{2}} \\ \sin{a}-\sin{b} = 2{\cdot}\cos{\frac{a+b}{2}}{\cdot}\sin{\frac{a-b}{2}} \\ \cos{a}+\cos{b} = 2{\cdot}\cos{\frac{a+b}{2}}{\cdot}\cos{\frac{a-b}{2}} \\ \sin{a}-\sin{b} = -2{\cdot}\sin{\frac{a+b}{2}}{\cdot}\sin{\frac{a-b}{2}} \\ \tan{a}+\tan{b} = \frac{\sin{(a+b)}}{\cos{a}{\cdot}\cos{b}} \\ 1-\cos{2x} = 2{\cdot}\sin^2{x} \\ 1+\cos{2x} = 2{\cdot}\cos^2{x} \\ 1 \pm \sin{2x} = (\sin{x} \pm \cos{x})^2 \end{align}$$
\(\sin(a+b)\)这个公式可以说最重要，但是它很好记忆。它下面的哪些公式，都可以用这个(*)来推导，具体可参考：和差化积公式的推导，二倍角公式的推导。
\(ax^2+bx+c=0,\Delta=b^2-4ac\) ，当 \(\Delta\lt0\) 时，无实数根，
求根公式：\(x=\cfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(a>0\)时，一元二次函数图像开口向上；
\(a<0\)时，一元二次函数图像开口向下；
\(\Delta < 0\)时，一元二次函数图像与x轴没有交点。
推导：
\(ax^2+bx+c \\ = a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}) \\ = a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}) \\ = a((x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2})\\ = 0\)
然后就可以解出x了！
(1) \(|a|-|b| \le |a-b| \le |a|+|b|\)
\(|a-b|\) 表示两点间的距离，与 \(|b-a|\) 相等。
(2) \(|x+y| \le |x|+|y|\)
仔细想想，以上字母代表的数字都在R内，加和减还有什么区别呢，因此：
(3) \(|a|-|b| \le |a \pm b| \le |a|+|b|\)
其实：\(||a|-|b|| \le |a \pm b| \le |a|+|b|\)
(4) 三角不等式： \(|a-c| \le |a-b| + |b-c|\)
(5) a为圆心，r为半径：\(|x-a| \le r \iff (a-r) \le x \le (a+r)\)
推导：
\(|x| = |x-y+y| \le |x-y|+|y|\) 得 \(|x|-|y| \le |x-y| \)
\(|x| = |x+y-y| \le |x+y|+|y|\) 得 \(|x|-|y| \le |x+y| \)
设扇形对应的源半径为\(r\)，扇形弧长为\(l\)，其面积公式为：
$$\pi r^2 \cdot \frac{l}{2\pi r} = \frac{1}{2} \cdot r\cdot l$$
弧度与弧长的关系：
\(2\pi r\)的弧长对应 \(2\pi\) 弧度，因此任何弧度\(\theta\)与对应弧长\(l\)的关系是：
$$\frac{l}{2\pi r} = \frac{\theta}{2\pi}$$
得到：
$$\theta = \frac{l}{r}$$
因此扇形面积公式还可以是：
$$\pi r^2 \cdot \frac{l}{2\pi r} = \frac{1}{2}rl = \frac{1}{2} r^2 \theta$$
本文链接：https://cs.pynote.net/math/202109097/
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