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设N维空间中一个点\(a\)，一个hyperplane，\(w^T x + b = 0\)，求点\(a\)到此hyperplane的距离。
向量\(w\)是此hyperplane的法向量，在此hyperplane上任取一点\(c\)，有：
\(\cos\theta=\cfrac{\overrightarrow{ac}\cdot w}{||\overrightarrow{ac}||\cdot||w||}\)
\(\theta\)为向量\(w\)与向量\(\overrightarrow{ac}\)之间的夹角。做一点形式变换：
\(\cos\theta \cdot ||\overrightarrow{ac}|| = \cfrac{\overrightarrow{ac}\cdot w}{||w||}=d\)
这里的\(d\)就是我们要求的距离。
\(\overrightarrow{ac}\cdot w\\ =(c_0-a_0)w_0+(c_1-a_1)w_1+\cdots+(c_n-a_n)w_n\\ =c_0w_0+c_1w_1+\cdots+c_nw_n-(a_0w_0+a_1w_1+\cdots+a_nw_n)\\ =-b-w^T a\\ =-(w^T a + b)\)
距离无关乎正负，因此得到点到平面的公式：
\(d=\cfrac{|w^T a + b|}{||w||}\)
本文链接：https://cs.pynote.net/math/202210027/
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