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布鲁克·泰勒（1685－1731）是一名英国数学家，以泰勒公式流传于世。
按照时间顺序，牛顿先发明了牛顿插值法，然后泰勒在牛顿插值法的公式上做极限运算，得出泰勒公式。
大学时就一直没有彻底学明白这部分知识，人生多磨难...社会多复杂...
假设已知4个点\((x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)\)，并且这4个点之间的距离相等，设为\(\Delta x\)，按照牛顿插值法，我们可以有：
\(f(x)\\ = f[x_0]\\ = f[x_0,x_1](x-x_0)\\ = f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)\\ = f[x_0,x_1,x_2,x_3](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\)
这里使用差商表达方式。
其中：
\(x_1=x_0+\Delta x\\ x_2=x_0+2\Delta x\\ x_3=x_0+3\Delta x\)
泰勒（根据直觉）发现，当\(\Delta x \rightarrow 0\)的时候，有：
\(\lim_{\Delta x\rightarrow 0}f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\\ + f''(x_0)\cfrac{(x-x_0)^2}{2!}+f^{(3)}(x_0)\cfrac{(x-x_0)^3}{3!}+\cdots\)
这就是著名的泰勒公式了！
牛顿插值法在拟合曲线的时候，会计算出一条穿过所有已知点的多项式方程，应用牛顿插值法的前提是，需要有足够的已知的点。
应用泰勒公式，得到的也是一个多项式，与牛顿插值法不同之处，泰勒公式需要事先知道曲线的函数，然后通过应用此函数多阶导数的方式，得到一个拟合此函数的另外的一个多项式函数。因此，我们经常说，生成一个泰勒多项式。
比如在\(x=0\)这个特殊的点，生成的泰勒公式，也被称为麦克劳林多项式。
在\(x=0\)处展开的多项式：
\(e^x=1+x+\cfrac{x^2}{2!}+\cfrac{x^3}{3!}+\cdots\)
\(\sin(x)=x-\cfrac{x^3}{3!}+\cfrac{x^5}{5!}-\cfrac{x^7}{7!}+\cdots\)
\(\cos(x)=1-\cfrac{x^2}{2!}+\cfrac{x^4}{4!}-\cfrac{x^6}{6!}+\cdots\)
\(\ln(1+x)=x-\cfrac{x^2}{2}+\cfrac{x^3}{3}-\cfrac{x^4}{4}+\cdots\)
\((1+x)^a=1+ax+a(a-1)\cfrac{x^2}{2!}+a(a-1)(a-2)\cfrac{x^3}{3!}+\cdots\)
为什么泰勒多项式跟原函数很相似呢？而且能够获得的导数的阶数越高，相似度就越高。
我在网上看到一个答案，大概是这样说的：不仅仅在展开的那个点一样，一阶导数也一样，二阶导数也一样，三阶导数也一样.......N阶到数也一样，每一阶导数，就让函数的某种性质暴露出来，这些内在性质一样......因此，可以理解，泰勒多项式跟原函数，是多么的相似！越是高阶展开，相似度越高！
一阶导数速度相同，二阶导数加速度相同，三阶导数在三维空间难以对应具体的概念，管它是什么，也相同...
泰勒公式让我们可以通过一个点来窥视整个函数的发展，为什么呢？因为点的发展趋势蕴含在导数之中，而导数的发展趋势蕴含在二阶导数之中......四不四很有道理啊？
多项式这种函数是我们可以亲近的函数，它们很开放、很坦白，心里想什么就说什么...
但，无论与原函数多么相似，总有差异。
\(f(x)=p_n(x)+R_n(x)\)
皮亚诺余项
\(R_n(x)=o((x-x_0)^n)\)
当\(x_0=0\)时，
\(R_n(x)=o((x)^n)\)
拉格朗日余项
设\(f(x)\)在\(U(x_0)\)内具有\(n+1\)阶导数，
\(R_n(x) = f^{(n+1)}(\xi)\cfrac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}\)
\(\xi\)为\(x\)与\(x_0\)之间的某个值。
设\(f(x)\)在\((x,a)\)这个区间满足拉格朗日中值定义，即有：
\(f(x) = f(a) + f'(\theta)(x-a), \theta\in(x,a)\)
这就是\(n=0\)时，将\(f(x)\)在\(a\)点展开的泰勒公式！
本文链接：https://cs.pynote.net/math/202208293/
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