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曲率定义圆的弯曲程度：
\(K = \cfrac{1}{r}\)
曲率K被定义为圆半径r的倒数。
半径越小，曲率越大；半径越大，曲率越小。
当半径趋向无穷大的时候：
\(K = \lim_{r\rightarrow\infty}\cfrac{1}{r} = 0\)
这非常符合直觉。古时候，人们认为地球是平的，就是因为相对人而言，地球的半径太大了。
将圆的曲率扩展到曲线，曲线上任一点的密切圆（osculating circle），是对这一点附近曲线的最佳圆近似，密切圆的曲率，就是曲线在这一点的曲率。
在曲线较为平坦的地方，密切圆半径很大，较为弯曲的地方，密切圆半径就较小。
曲线上这一点的切线，同时也是密切圆的切线。
已知函数\(f(x)\)在\(x_0\)点有二阶导数\(f''(x_0)\)，且\(f''(x_0)\neq0\)，则此点有密切圆存在，其半径为：
\(r = \cfrac{(1+(f'(x_0))^2)^{\frac{3}{2}}}{|f''(x_0)|}\)
曲率为:
\(K = \cfrac{1}{r} = \cfrac{|f''(x_0)|}{(1+(f'(x_0))^2)^{\frac{3}{2}}}\)
\(f''(x_0)=0\)，则\(x_0\)点是拐点，不存在密切圆。
所以密切圆也称为曲线的曲率圆，半径r称为曲率半径。
如果要画出密切圆，还需要计算出圆心在哪里......有半径，切线的垂直线指明了半径方向....
$$\begin{cases} \alpha = x_0 - \cfrac{f'(x_0)(1+(f'(x_0))^2)}{f''(x_0)}\\ \beta = f(x_0) + \cfrac{1+(f'(x_0))^2)}{f''(x_0)}\\ \end{cases}$$
此圆心，也称为曲率中心。
当\(x_0\)开始移动，会得到一条密切圆圆心轨迹\(g(x)\)，这条轨迹称为渐曲线。\(f(x)\)也被称为渐伸线。
本文链接：https://cs.pynote.net/math/202209023/
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