微分,导数,导函数,链式法则

Last Updated: 2024-05-26 11:33:57 Sunday

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微分的思想简单直接,就是以直代曲线性近似无限逼近

比如可以用内接NN边型(N+N\rightarrow +\infty)的方式来推导圆的面积公式,用NN个小矩形面积的和来计算曲线与x轴之间的面积等等。

微分的定义

设函数y=f(x)y=f(x)在某区间内有定义,x0x_0x0+Δxx_0+\Delta x在此区间内,如果函数增量:

Δy=f(x0+Δx)f(x0)\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)

可表示为:

Δy=AΔx+o(Δx)\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)

其中AA是不依赖于Δx\Delta x的常数,那么称函数y=f(x)y=f(x)在点x0x_0是 可微 的,而AΔxA\Delta x叫作函数y=f(x)y=f(x)在点x0x_0相应于自变量增量Δx\Delta x微分 ,记作dy\textrm{d}y,即:

dy=AΔx\textrm{d}y=A\Delta x

通常令dx=Δx\mathrm{d}x=\Delta x,所以微分又可表示为:

dy=Adx\textrm{d}y=A\cdot\mathrm{d}x

o(Δx)=ΔyAΔxo(\Delta x)=\Delta y - A\Delta x,这表示用来线性近似的直线与函数原值相差一个相对于Δx\Delta x高阶无穷小

limΔx0o(Δx)Δx=0\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\cfrac{o(\Delta x)}{\Delta x}=0

该直线就是f(x0)f(x_0)点及其附近曲线的“线性近似”!这条直线就是f(x0)f(x_0)点的切线(tangent line)。

导数

上述微分的定义中,A就是导数。

Δy=AΔx+o(Δx)ΔyΔx=A+o(Δx)Δx\begin{align} \Delta y &= A\Delta x+o(\Delta x) \notag\\ \frac{\Delta y}{\Delta x} &= A + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\notag\\ \end{align}

显然就有:

limΔx0ΔyΔx=limΔx0f(x+x0)f(x)Δx=A=f(x0)=dydxx=x0\begin{align} \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+x_0)-f(x)}{\Delta x}\notag\\ &=A\notag\\ &=f'(x_0)\notag\\ &=\cfrac{dy}{dx}\bigg|_{x=x_0}\end{align}

这就是导数的定义式。

dydxx=x0\cfrac{dy}{dx}\bigg|_{x=x_0}不是除法,是上述极限式的简写。但从微分定义角度看,的确又是个除法。有点混乱,注意内涵!(微积分的发展经历了数百年,牛顿、莱布尼兹、柯西、欧拉、魏尔斯特拉斯等各位大佬一把屎一把尿把它抚养成人,中间产生了一个问题,就是符号有些混乱)

这个极限存在,即说明f(x)f(x)x0x_0处可导,这个极限就是导数。

导数还可以写成:

yx=x0y^{'}|_{x=x_0}

dydxx=x0\cfrac{dy}{dx}\bigg|_{x=x_0}

df(x)dxx=x0\cfrac{df(x)}{dx}\bigg|_{x=x_0}

ddxf(x)x=x0\cfrac{d}{dx}f(x)\Bigg|_{x=x_0}

导数就是用来做微分近似的那条直线的斜率,微分存在,导数必然存在,因此,可微就可导,可导就可微

微分是dydy,导数是dydx\cfrac{dy}{dx},导数是微分的斜率,是变化率或敏感度。

微分和导数,从定义上看,都是一个数。求微分,关键就是求导数,求导数,就是在求极限。

下面这段文字,是我在另外一份教材上看到的,说的就是导数定义式左右两边并不都是除法:

A technical note is that the division sign on the left-hand side is, unlike the division sign on the right-hand side, not a division. Instead, this notation indicates that the operator ddx\cfrac{d}{dx} is being applied to the function ff, and returns a different function (the derivative).

The derivative on each variable tells you the sensitivity of the whole expression on its value.

左右导数

如下极限存在的话,则称之为函数y=f(x)y=f(x)在点x0x_0处的 左导数 (left-hand derivatives),记作f(x0)f'_-(x_0)

f(x0)=limΔx0f(x0+Δx)f(x0)Δxf_{-}^{'}(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0^-}\cfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

或如下极限存在的话,则称之为函数y=f(x)y=f(x)在点x0x_0处的 右导数 (right-hand derivatives),记作f+(x0)f'_+(x_0)

f+(x0)=limΔx0+f(x0+Δx)f(x0)Δxf_{+}^{'}(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0^+}\cfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

可导的充要条件

左右导数存在且相等:

f(x0)=f+(x0)=f(x0)f_{-}^{'}(x_0)=f_{+}^{'}(x_0)=f^{'}(x_0)

可导与连续

可导必然连续

如果函数f(x)f(x)x0x_0可导,那么函数在x0x_0点必然连续。

连续不一定可导

比如函数图形不全是曲线,有突变的点。

可导意味着曲线平滑,没有突变点。

导函数

若函数y=f(x)y=f(x)在开区间II内的每个点都可导,则称函数y=f(x)y=f(x)在开区间II内可导。

此时,xI\forall x\in I,都对应这f(x)f(x)一个确定的导数值,这就构成了新的函数,该函数叫做y=f(x)y=f(x)的导函数,记作y,f(x),dydx,df(x)dxy^{'},f^{'}(x),\cfrac{dy}{dx},\cfrac{df(x)}{dx}。定义式为:

y=f(x)=limΔx0f(x+Δx)f(x)Δxy^{'}=f^{'}(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\cfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

定义在开区间,可能是避免了说明左右导数的麻烦。

不要把导数和导函数混在一起分不清楚了,注意上下文。

常数函数的导函数

常数函数f(x)=C,CRf(x)=C,C\in R,其导函数为0:

f(x)=0f'(x)=0

幂函数的导函数

对于幂函数f(x)=xa,aRf(x)=x^a,a\in R,其导函数为:

f(x)=axa1f'(x)=a\cdot x^{a-1}

三角函数的导函数

(sinx)=cosx(\sin{x})'=\cos{x}

(cosx)=sinx(\cos{x})'=-\sin{x}

有了这两个公式,再结合洗下面求导函数的法则,可以很轻松的得到:

(tanx)=sec2x(\tan{x})'=\sec^2{x}

(cotx)=csc2x(\cot{x})'=-\csc^2{x}

(secx)=secxtanx(\sec{x})'=\sec{x}\cdot\tan{x}

(cscx)=cscxcotx(\csc{x})'=-\csc{x}\cdot\cot{x}

反三角函数的导函数

(arcsinx)=11x2(\arcsin{x})'=\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}

(arccosx)=11x2(\arccos{x})'=-\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}

(arctanx)=11+x2(\arctan{x})'=\cfrac{1}{1+x^2}

(arccot x)=11+x2(arccot\text{ x})^{'}=-\cfrac{1}{1+x^2}

指数函数的导函数

f(x)=ax,a>0,a1f(x)=a^x,a\gt0,a\neq1

f(x)=axlnaf'(x)=a^x\cdot \ln{a}

特别的当f(x)=exf(x)=e^x时,f(x)=exf'(x)=e^x

对数函数的导函数

f(x)=logax,a>0,a1f(x)=\log_a{x},a\gt0,a\neq1

f(x)=1xlnaf'(x)=\cfrac{1}{x\ln{a}}

特别的当f(x)=lnxf(x)=\ln{x}时,f(x)=1xf'(x)=\cfrac{1}{x}

求导(函数)法则

函数和差的导函数

如果函数f(x)f(x)g(x)g(x)xx点处可导,

(f(x)±g(x))=f(x)±g(x)(f(x)\pm g(x))^{'}=f^{'}(x)\pm g^{'}(x)

函数积的导函数

product rule

如果函数f(x)f(x)g(x)g(x)xx点处可导,

f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)f(x)\cdot g(x)=f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)

对于有3部分相乘的product rule:

如果y=uvwy=uvw,那么:

dydx=dudxvw+dvdxuw+dwdxuv\cfrac{dy}{dx}=\cfrac{du}{dx}vw+\cfrac{dv}{dx}uw+\cfrac{dw}{dx}uv

函数商的导函数

quotient rule

如果函数f(x)f(x)g(x)g(x)xx点处可导,以及g(x)0g(x)\neq0

(f(x)g(x))=f(x)g(x)f(x)g(x)g2(x)\biggl(\cfrac{f(x)}{g(x)}\biggr)'=\cfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

链式法则

复合函数的导函数,链式法则,chain rule

如果u=g(x)u=g(x)xx可导,而y=f(u)y=f(u)uu点可导,那么复合函数y=f(g(x))y=f(g(x))xx点可导,其导函数为:

(f(g(x)))=f(u)g(x)=dydududx\bigl(f(g(x))\bigr)'=f'(u)\cdot g'(x)=\cfrac{dy}{du}\cdot\cfrac{du}{dx}

dydududx\cfrac{dy}{du}和\cfrac{du}{dx}这里绝对不是除法,不能约分,他们是两个极限表达式的缩写。

当然,链式法则也可以有更多级:

dydx=dydududvdvdx\cfrac{dy}{dx}=\cfrac{dy}{du}\cdot\cfrac{du}{dv}\cdot\cfrac{dv}{dx}

反函数的求导(函数)法则

如果函数y=f(x)y=f(x)在区间IxI_x内严格单调,可导,且f(x)0f'(x)\neq0,那么它的反函数f1(y)f^{-1}(y)在对应的区间Iy={yy=f(x),xIx}I_y=\{y|y=f(x),x\in I_x\}也可导,且:

(f1(y))=1f(x)\bigl(f^{-1}(y)\bigr)'=\cfrac{1}{f'(x)}

严格单调已经包含了导数不为0这个条件。

隐函数求导

型如y=f(x)y=f(x)的函数,叫做显函数(explicit function),否则就是隐函数(implicit function)

有一些隐函数,可以转换成显函数,有一些就不行。

有一个判断隐函数是否存在的定理,还不会。

隐函数直接求导

隐函数不能将y和x分开,因此在求导的时候,同时对等号两边针对x进行求导,使用上文所述的各种求导法则。注意对y用x求导时,因为隐函数,要使用链式法则,得到一个含有dydx\cfrac{dy}{dx}的表达式,我们要求的,就是dydx=...\cfrac{dy}{dx}=...

隐函数对数求导

等号两边去对数,可以把幂运算简化为乘法,可以把乘除简化为加减。然后再两边对x求导。一般都取自然对数,进一步方便计算。

参数方程求导

定理,对于参数方程:

{x=f(t)y=g(t)\begin{cases} x=f(t) \\ y=g(t) \\ \end{cases}

x和y存在函数关系,可直接用链式法则证明此定理。

那么,dydx=dydtdtdx=dydt1dxdt=g(t)f(t)\cfrac{dy}{dx}=\cfrac{dy}{dt}\cdot\cfrac{dt}{dx}=\cfrac{dy}{dt}\cdot\cfrac{1}{\frac{dx}{dt}}=\cfrac{g'(t)}{f'(t)}

参数方程的二阶导数,由于一阶导数得到的依然是一个含有t的表达式,因此再来这么一次。

高阶导函数

前面说的都是一阶导函数(first order derivative)。

二阶导函数(second order derivatives)为:

(y)=f(x)=d2ydx2=ddx(y)(y')'=f''(x)=\cfrac{d^{2}y}{dx^2}=\cfrac{d}{dx}(y')

对函数y求两次导数,每一个dxdx表示对x求导一次。

位移的一阶导数是瞬时速度,二阶导数是加速度。

N接导函数(N-th order derivatives):

y(n)=f(n)=dnydxny^{(n)}=f^{(n)}=\cfrac{d^{n}y}{dx^n}

本文链接:https://cs.pynote.net/math/202208061/

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