微分,导数,导函数,链式法则 Last Updated: 2024-05-26 11:33:57 Sunday
-- TOC --
微分的思想简单直接,就是以直代曲
,线性近似
,无限逼近
。
比如可以用内接N N N 边型(N → + ∞ N\rightarrow +\infty N → + ∞ )的方式来推导圆的面积公式,用N N N 个小矩形面积的和来计算曲线与x轴之间的面积等等。
设函数y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 在某区间内有定义,x 0 x_0 x 0 及x 0 + Δ x x_0+\Delta x x 0 + Δ x 在此区间内,如果函数增量:
Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 )
可表示为:
Δ y = A Δ x + o ( Δ x ) \Delta y=A\Delta x+o(\Delta x) Δ y = A Δ x + o ( Δ x )
其中A A A 是不依赖于Δ x \Delta x Δ x 的常数,那么称函数y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 在点x 0 x_0 x 0 是 可微 的,而A Δ x A\Delta x A Δ x 叫作函数y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 在点x 0 x_0 x 0 相应于自变量增量Δ x \Delta x Δ x 的 微分 ,记作d y \textrm{d}y d y ,即:
d y = A Δ x \textrm{d}y=A\Delta x d y = A Δ x
通常令d x = Δ x \mathrm{d}x=\Delta x d x = Δ x ,所以微分又可表示为:
d y = A ⋅ d x \textrm{d}y=A\cdot\mathrm{d}x d y = A ⋅ d x
o ( Δ x ) = Δ y − A Δ x o(\Delta x)=\Delta y - A\Delta x o ( Δ x ) = Δ y − A Δ x ,这表示用来线性近似的直线与函数原值相差一个相对于Δ x \Delta x Δ x 的高阶无穷小 。
lim Δ x → 0 o ( Δ x ) Δ x = 0 \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\cfrac{o(\Delta x)}{\Delta x}=0 lim Δ x → 0 Δ x o ( Δ x ) = 0
该直线就是f ( x 0 ) f(x_0) f ( x 0 ) 点及其附近曲线的“线性近似”!这条直线就是f ( x 0 ) f(x_0) f ( x 0 ) 点的切线(tangent line)。
上述微分的定义中,A就是导数。
Δ y = A Δ x + o ( Δ x ) Δ y Δ x = A + o ( Δ x ) Δ x \begin{align}
\Delta y &= A\Delta x+o(\Delta x) \notag\\
\frac{\Delta y}{\Delta x} &= A + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\notag\\
\end{align} Δ y Δ x Δ y = A Δ x + o ( Δ x ) = A + Δ x o ( Δ x )
显然就有:
lim Δ x → 0 Δ y Δ x = lim Δ x → 0 f ( x + x 0 ) − f ( x ) Δ x = A = f ′ ( x 0 ) = d y d x ∣ x = x 0 \begin{align}
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+x_0)-f(x)}{\Delta x}\notag\\
&=A\notag\\
&=f'(x_0)\notag\\
&=\cfrac{dy}{dx}\bigg|_{x=x_0}\end{align} Δ x → 0 lim Δ x Δ y = Δ x → 0 lim Δ x f ( x + x 0 ) − f ( x ) = A = f ′ ( x 0 ) = d x d y ∣ ∣ x = x 0
这就是导数的定义式。
d y d x ∣ x = x 0 \cfrac{dy}{dx}\bigg|_{x=x_0} d x d y ∣ ∣ x = x 0 不是除法,是上述极限式的简写。但从微分定义角度看,的确又是个除法。有点混乱,注意内涵!(微积分的发展经历了数百年,牛顿、莱布尼兹、柯西、欧拉、魏尔斯特拉斯等各位大佬一把屎一把尿把它抚养成人,中间产生了一个问题,就是符号有些混乱)
这个极限存在,即说明f ( x ) f(x) f ( x ) 在x 0 x_0 x 0 处可导,这个极限就是导数。
导数还可以写成:
y ′ ∣ x = x 0 y^{'}|_{x=x_0} y ′ ∣ x = x 0
d y d x ∣ x = x 0 \cfrac{dy}{dx}\bigg|_{x=x_0} d x d y ∣ ∣ x = x 0
d f ( x ) d x ∣ x = x 0 \cfrac{df(x)}{dx}\bigg|_{x=x_0} d x df ( x ) ∣ ∣ x = x 0
d d x f ( x ) ∣ x = x 0 \cfrac{d}{dx}f(x)\Bigg|_{x=x_0} d x d f ( x ) ∣ ∣ x = x 0
导数就是用来做微分近似的那条直线的斜率,微分存在,导数必然存在,因此,可微就可导,可导就可微 。
微分是d y dy d y ,导数是d y d x \cfrac{dy}{dx} d x d y ,导数是微分的斜率,是变化率或敏感度。
微分和导数,从定义上看,都是一个数。求微分,关键就是求导数,求导数,就是在求极限。
下面这段文字,是我在另外一份教材上看到的,说的就是导数定义式左右两边并不都是除法:
A technical note is that the division sign on the left-hand side is, unlike the division sign on the right-hand side, not a division. Instead, this notation indicates that the operator d d x \cfrac{d}{dx} d x d is being applied to the function f f f , and returns a different function (the derivative).
The derivative on each variable tells you the sensitivity of the whole expression on its value.
如下极限存在的话,则称之为函数y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 在点x 0 x_0 x 0 处的 左导数 (left-hand derivatives),记作f − ′ ( x 0 ) f'_-(x_0) f − ′ ( x 0 ) :
f − ′ ( x 0 ) = lim Δ x → 0 − f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x f_{-}^{'}(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0^-}\cfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} f − ′ ( x 0 ) = Δ x → 0 − lim Δ x f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 )
或如下极限存在的话,则称之为函数y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 在点x 0 x_0 x 0 处的 右导数 (right-hand derivatives),记作f + ′ ( x 0 ) f'_+(x_0) f + ′ ( x 0 ) :
f + ′ ( x 0 ) = lim Δ x → 0 + f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x f_{+}^{'}(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0^+}\cfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} f + ′ ( x 0 ) = Δ x → 0 + lim Δ x f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 )
可导的充要条件
左右导数存在且相等:
f − ′ ( x 0 ) = f + ′ ( x 0 ) = f ′ ( x 0 ) f_{-}^{'}(x_0)=f_{+}^{'}(x_0)=f^{'}(x_0) f − ′ ( x 0 ) = f + ′ ( x 0 ) = f ′ ( x 0 )
可导必然连续
如果函数f ( x ) f(x) f ( x ) 在x 0 x_0 x 0 可导,那么函数在x 0 x_0 x 0 点必然连续。
连续不一定可导
比如函数图形不全是曲线,有突变的点。
可导意味着曲线平滑,没有突变点。
若函数y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 在开区间I I I 内的每个点都可导,则称函数y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 在开区间I I I 内可导。
此时,∀ x ∈ I \forall x\in I ∀ x ∈ I ,都对应这f ( x ) f(x) f ( x ) 一个确定的导数值,这就构成了新的函数,该函数叫做y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 的导函数,记作y ′ , f ′ ( x ) , d y d x , d f ( x ) d x y^{'},f^{'}(x),\cfrac{dy}{dx},\cfrac{df(x)}{dx} y ′ , f ′ ( x ) , d x d y , d x df ( x ) 。定义式为:
y ′ = f ′ ( x ) = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x y^{'}=f^{'}(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\cfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} y ′ = f ′ ( x ) = Δ x → 0 lim Δ x f ( x + Δ x ) − f ( x )
定义在开区间,可能是避免了说明左右导数的麻烦。
不要把导数和导函数混在一起分不清楚了,注意上下文。
常数函数f ( x ) = C , C ∈ R f(x)=C,C\in R f ( x ) = C , C ∈ R ,其导函数为0:
f ′ ( x ) = 0 f'(x)=0 f ′ ( x ) = 0
对于幂函数f ( x ) = x a , a ∈ R f(x)=x^a,a\in R f ( x ) = x a , a ∈ R ,其导函数为:
f ′ ( x ) = a ⋅ x a − 1 f'(x)=a\cdot x^{a-1} f ′ ( x ) = a ⋅ x a − 1
( sin x ) ′ = cos x (\sin{x})'=\cos{x} ( sin x ) ′ = cos x
( cos x ) ′ = − sin x (\cos{x})'=-\sin{x} ( cos x ) ′ = − sin x
有了这两个公式,再结合洗下面求导函数的法则,可以很轻松的得到:
( tan x ) ′ = sec 2 x (\tan{x})'=\sec^2{x} ( tan x ) ′ = sec 2 x
( cot x ) ′ = − csc 2 x (\cot{x})'=-\csc^2{x} ( cot x ) ′ = − csc 2 x
( sec x ) ′ = sec x ⋅ tan x (\sec{x})'=\sec{x}\cdot\tan{x} ( sec x ) ′ = sec x ⋅ tan x
( csc x ) ′ = − csc x ⋅ cot x (\csc{x})'=-\csc{x}\cdot\cot{x} ( csc x ) ′ = − csc x ⋅ cot x
( arcsin x ) ′ = 1 1 − x 2 (\arcsin{x})'=\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} ( arcsin x ) ′ = 1 − x 2 1
( arccos x ) ′ = − 1 1 − x 2 (\arccos{x})'=-\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} ( arccos x ) ′ = − 1 − x 2 1
( arctan x ) ′ = 1 1 + x 2 (\arctan{x})'=\cfrac{1}{1+x^2} ( arctan x ) ′ = 1 + x 2 1
( a r c c o t x ) ′ = − 1 1 + x 2 (arccot\text{ x})^{'}=-\cfrac{1}{1+x^2} ( a rcco t x ) ′ = − 1 + x 2 1
当f ( x ) = a x , a > 0 , a ≠ 1 f(x)=a^x,a\gt0,a\neq1 f ( x ) = a x , a > 0 , a = 1
f ′ ( x ) = a x ⋅ ln a f'(x)=a^x\cdot \ln{a} f ′ ( x ) = a x ⋅ ln a
特别的当f ( x ) = e x f(x)=e^x f ( x ) = e x 时,f ′ ( x ) = e x f'(x)=e^x f ′ ( x ) = e x
当f ( x ) = log a x , a > 0 , a ≠ 1 f(x)=\log_a{x},a\gt0,a\neq1 f ( x ) = log a x , a > 0 , a = 1
f ′ ( x ) = 1 x ln a f'(x)=\cfrac{1}{x\ln{a}} f ′ ( x ) = x ln a 1
特别的当f ( x ) = ln x f(x)=\ln{x} f ( x ) = ln x 时,f ′ ( x ) = 1 x f'(x)=\cfrac{1}{x} f ′ ( x ) = x 1
如果函数f ( x ) f(x) f ( x ) 和g ( x ) g(x) g ( x ) 在x x x 点处可导,
( f ( x ) ± g ( x ) ) ′ = f ′ ( x ) ± g ′ ( x ) (f(x)\pm g(x))^{'}=f^{'}(x)\pm g^{'}(x) ( f ( x ) ± g ( x ) ) ′ = f ′ ( x ) ± g ′ ( x )
product rule
如果函数f ( x ) f(x) f ( x ) 和g ( x ) g(x) g ( x ) 在x x x 点处可导,
f ( x ) ⋅ g ( x ) = f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ′ ( x ) f(x)\cdot g(x)=f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x) f ( x ) ⋅ g ( x ) = f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ′ ( x )
对于有3部分相乘的product rule:
如果y = u v w y=uvw y = uv w ,那么:
d y d x = d u d x v w + d v d x u w + d w d x u v \cfrac{dy}{dx}=\cfrac{du}{dx}vw+\cfrac{dv}{dx}uw+\cfrac{dw}{dx}uv d x d y = d x d u v w + d x d v u w + d x d w uv
quotient rule
如果函数f ( x ) f(x) f ( x ) 和g ( x ) g(x) g ( x ) 在x x x 点处可导,以及g ( x ) ≠ 0 g(x)\neq0 g ( x ) = 0 ,
( f ( x ) g ( x ) ) ′ = f ′ ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′ ( x ) g 2 ( x ) \biggl(\cfrac{f(x)}{g(x)}\biggr)'=\cfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)} ( g ( x ) f ( x ) ) ′ = g 2 ( x ) f ′ ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′ ( x )
复合函数的导函数,链式法则,chain rule !
如果u = g ( x ) u=g(x) u = g ( x ) 在x x x 可导,而y = f ( u ) y=f(u) y = f ( u ) 在u u u 点可导,那么复合函数y = f ( g ( x ) ) y=f(g(x)) y = f ( g ( x )) 在x x x 点可导,其导函数为:
( f ( g ( x ) ) ) ′ = f ′ ( u ) ⋅ g ′ ( x ) = d y d u ⋅ d u d x \bigl(f(g(x))\bigr)'=f'(u)\cdot g'(x)=\cfrac{dy}{du}\cdot\cfrac{du}{dx} ( f ( g ( x )) ) ′ = f ′ ( u ) ⋅ g ′ ( x ) = d u d y ⋅ d x d u
d y d u 和 d u d x \cfrac{dy}{du}和\cfrac{du}{dx} d u d y 和 d x d u 这里绝对不是除法,不能约分,他们是两个极限表达式的缩写。
当然,链式法则也可以有更多级:
d y d x = d y d u ⋅ d u d v ⋅ d v d x \cfrac{dy}{dx}=\cfrac{dy}{du}\cdot\cfrac{du}{dv}\cdot\cfrac{dv}{dx} d x d y = d u d y ⋅ d v d u ⋅ d x d v
如果函数y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 在区间I x I_x I x 内严格单调,可导,且f ′ ( x ) ≠ 0 f'(x)\neq0 f ′ ( x ) = 0 ,那么它的反函数f − 1 ( y ) f^{-1}(y) f − 1 ( y ) 在对应的区间I y = { y ∣ y = f ( x ) , x ∈ I x } I_y=\{y|y=f(x),x\in I_x\} I y = { y ∣ y = f ( x ) , x ∈ I x } 也可导,且:
( f − 1 ( y ) ) ′ = 1 f ′ ( x ) \bigl(f^{-1}(y)\bigr)'=\cfrac{1}{f'(x)} ( f − 1 ( y ) ) ′ = f ′ ( x ) 1
严格单调已经包含了导数不为0这个条件。
型如y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 的函数,叫做显函数(explicit function) ,否则就是隐函数(implicit function) 。
有一些隐函数,可以转换成显函数,有一些就不行。
有一个判断隐函数是否存在的定理,还不会。
隐函数不能将y和x分开,因此在求导的时候,同时对等号两边针对x进行求导,使用上文所述的各种求导法则。注意对y用x求导时,因为隐函数,要使用链式法则,得到一个含有d y d x \cfrac{dy}{dx} d x d y 的表达式,我们要求的,就是d y d x = . . . \cfrac{dy}{dx}=... d x d y = ...
等号两边去对数,可以把幂运算简化为乘法,可以把乘除简化为加减。然后再两边对x求导。一般都取自然对数,进一步方便计算。
定理,对于参数方程:
{ x = f ( t ) y = g ( t ) \begin{cases}
x=f(t) \\
y=g(t) \\
\end{cases} { x = f ( t ) y = g ( t )
存在严格单调且连续的反函数t = f − 1 ( x ) t=f^{-1}(x) t = f − 1 ( x )
存在函数y = g ( t ) = g ( f − 1 ( x ) ) y=g(t)=g(f^{-1}(x)) y = g ( t ) = g ( f − 1 ( x ))
x x x 和y y y 可导,且f ′ ( t ) ≠ 0 f'(t)\neq0 f ′ ( t ) = 0
x和y存在函数关系,可直接用链式法则证明此定理。
那么,d y d x = d y d t ⋅ d t d x = d y d t ⋅ 1 d x d t = g ′ ( t ) f ′ ( t ) \cfrac{dy}{dx}=\cfrac{dy}{dt}\cdot\cfrac{dt}{dx}=\cfrac{dy}{dt}\cdot\cfrac{1}{\frac{dx}{dt}}=\cfrac{g'(t)}{f'(t)} d x d y = d t d y ⋅ d x d t = d t d y ⋅ d t d x 1 = f ′ ( t ) g ′ ( t )
参数方程的二阶导数,由于一阶导数得到的依然是一个含有t的表达式,因此再来这么一次。
前面说的都是一阶导函数(first order derivative)。
二阶导函数(second order derivatives)为:
( y ′ ) ′ = f ′ ′ ( x ) = d 2 y d x 2 = d d x ( y ′ ) (y')'=f''(x)=\cfrac{d^{2}y}{dx^2}=\cfrac{d}{dx}(y') ( y ′ ) ′ = f ′′ ( x ) = d x 2 d 2 y = d x d ( y ′ )
对函数y求两次导数,每一个d x dx d x 表示对x求导一次。
位移的一阶导数是瞬时速度,二阶导数是加速度。
N接导函数(N-th order derivatives):
y ( n ) = f ( n ) = d n y d x n y^{(n)}=f^{(n)}=\cfrac{d^{n}y}{dx^n} y ( n ) = f ( n ) = d x n d n y
本文链接:https://cs.pynote.net/math/202208061/
-- EOF --
-- MORE --